Un segno della vitalità del pensiero platonico è che esso, nel corso della storia, è stato spesso oggetto d’indagine storica, talvolta materia di rielaborazione teoretica, in qualche caso addirittura fonte d’ispirazione pratica; ma qualunque fosse l’esigenza o l’intendimento con cui lo si è avvicinato, è stato sempre oggetto d’interpretazione, nonostante l’abbondanza dei dialoghi pervenuti, certamente di numero congruo per ricostruire attendibilmente – almeno a grandi linee – la vicenda spirituale di Platone.

Ma se, da una parte, l’analisi condotta con metodo scientifico e l’approfondimento critico di quel pensiero hanno rivelato progressivamente, oltre alla complessa articolazione, i presupposti culturali, i contesti entro cui esso andava iscritto, ossia le condizioni prossime e remote che ne hanno stimolato la nascita e favorito lo sviluppo, dall’altra gli sforzi interpretativi ci hanno offerto spesso "nuovi" e "diversi" profili speculativi di Platone. Al punto che, nel ripercorrere anche sommariamente la storia della storiografia filosofica relativa a Platone, spesso, specialmente quando risulta difficile o impossibile avanzare dei dubbi sull’attendibilità di certe ricostruzioni, rinvenire motivi da addurre a prova manifesta di "infedeltà" storica, sorge insidiosa la domanda: qual è il vero Platone? Sicché in tanti casi, pur dovendosi riconoscere ampiamente l’utilità, la serietà e la validità delle ricerche, non si riesce a fugare il mistero dell’"identità" speculativa del filosofo.

Le perplessità non sono ingiustificate perché, nonostante i molteplici tentativi, effettuati nelle piú diverse direzioni, di definire la sua personalità culturale, essa sembra sfuggire ad una precisa determinazione, sia perché la parte forse piú interessante delle sue speculazioni, quella ch’era oggetto dell’insegnamento "riservato" e che verosimilmente costituiva il fondamento di quanto espresso in forma discorsiva nei dialoghi, non ci è pervenuta, sia perché – e questo ci sembra il motivo principale – è oggettivamente difficile, anche utilizzando razionalmente e con estremo rigore storico il materiale documentario a disposizione, penetrare a fondo ed illustrare adeguatamente la natura dialettica del suo filosofare e circoscrivere esaurientemente la statura intellettuale di un pensatore del suo calibro che ha saputo tesaurizzare indicazioni, suggerimenti, ispirazioni procuratigli dall’attenzione, teoreticamente consapevole, alla vita che gli si svolgeva intorno, dagl’incontri fatti, dalle esperienze vissute e compiute nei suoi viaggi, e che, traducendo tutto questo "materiale" in contenuto di speculazione razionale, l’ha rielaborato in sintesi sempre piú ampie, inserendosi, cosí, nell’ondata di produzione culturale che si è sollevata in Grecia fin dall’epoca feconda in cui Atene visse l’esperienza politica di Pericle.

Va da sé che tali oggettive difficoltà non devono inibire ulteriori tentativi di comprensione, né, tanto meno, devono scoraggiare l’impiego di nuove metodologie d’indagine. Ma, parimenti, non bisogna alimentare acriticamente l’illusione di scoprire una volta per tutte il "vero" Platone, "tutto Platone", se, com’è facile costatare, anche adoperando strumenti di ricerca "sofisticati", tecniche d’analisi "raffinate", non si riesce a superare la soglia dell’ipotesi e se, addirittura, come nel caso di due recenti studi pubblicati in Italia, analoghe metodologie d’indagine conducono a risultati diversi sia sul piano dell’interpretazione generale che su quello della soluzione di problemi particolari.

Ad un anno esatto dalla pubblicazione del volume di Paolo Cosenza L’incommensurabile nell’evoluzione filosofica di Platone la stessa casa editrice napoletana "Il Tripode" ha messo a disposizione degli studiosi, nella scorsa estate 1978, il lavoro Filosofia e Matematica in Platone. Osservazioni sull’Eutidemo di Lamberto Maccioni, già autore, nel 1970, della traduzione con note degli Elementi di Euclide in collaborazione con l’euclidista e storico della matematica A. Frajese.

I due testi, affini eppur diversissimi tra loro, costituiscono una novità, anche se non assoluta, nel panorama delle ricerche sul pensiero antico e su quello di Platone in particolare.

Inserendosi nel filone degli studi che dal primo trentennio di questo secolo hanno cercato d’illuminare il rapporto tra matematica e filosofia in Platone – studi che, con diversi approfondimenti e per diverse vie fanno capo a Milhaud, Burnet, Taylor, Robin, Stenzel – , collocandosi sulla linea delle indagini che hanno avuto, tra noi, il loro ispiratore in Mondolfo, e tenendo conto dei piú recenti contributi offerti da Krämer e Gaiser, il Cosenza ed il Maccioni procedono autonomamente – ognuno con una specifica ipotesi da provare e con propri criteri metodologici d’indagine – ma, entrambi, in un modo anche abbastanza inusitato.

Per la vastità della trattazione, per la grossa mole di ragguagli storici e per l’impianto ad un tempo teoretico e storico il lavoro del Cosenza è da ritenersi senz’altro fondamentale in ordine ai problemi del Platone matematico e dell’influsso della matematica sul pensiero filosofico di Platone; quello del Maccioni, poi, risulta indubbiamente stimolante per il suo carattere, per cosí dire, sperimentale, in quanto serio e meditato tentativo di portare alla luce, attraverso gli elementi che lo stesso Platone offre, la logica matematica che sottende, anche là dove non risulta evidente, il discorso filosofico platonico.

Il Cosenza dispone al centro della sua attenzione il problema dell’incommensurabilità, schiuso nell’ambito della matematica greca dai pitagorici. Assimilando l’ormai tradizionale opinione storiografica che ha visto nella crisi dell’aritmo-geometria pitagorica una crisi radicale della matematica antica, egli opera un’estesa e profonda ricognizione e ricostruzione storica dei tentativi di approssimazione ai valori incommensurabili che furono attuati dai matematici greci; anzi, rifacendosi al Taylor, secondo cui il metodo proprio di quei tentativi va ricercato nel procedimento d’approssimazione per numeri laterali e diagonali, ripercorre la storia di quel metodo e, insieme, ne estrae tutti i possibili, e da lui giudicati fondamentali, influssi sul pensiero filosofico, in particolare su quello di Platone.

In che cosa consiste questo metodo? Non è possibile descriverlo in forma sintetica senza incorrere in imprecisioni e senza far torto al rigore storico del Cosenza, che s’è preoccupato di ricostruire meticolosamente, sulla base di attendibili ipotesi, le tappe del suo progressivo costruirsi. Tuttavia le ragioni espositive c’invitano a tentare.

Basta pensare, dunque, al caso del rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato (certamente uno dei casi, e forse il primo, che condussero alla scoperta dell’incommensurabile). Nella scuola pitagorica si giunse in epoca molto antica (certamente prima di Platone) all’acquisizione che il quadrato costruito sulla diagonale è il doppio del quadrato costruito sul lato (teorema cosiddetto di Pitagora).

Com’è evidente

se d² = 2 l², poiché , allora .

Pertanto: se si pone il lato = 1,

il rapporto tra diagonale e lato è .

Tuttavia tale rapporto resta fisso sempre, qualunque misura particolare si attribuisca al lato (e conseguentemente alla diagonale). Ora è noto che è un valore irrazionale: infatti non è un numero intero, non è esprimibile con una frazione ordinaria costituita da numeri finiti, e non è neppure un numero periodico; si potrebbe definirlo come un numero decimale illimitato aperiodico. Ma poiché tale valore non è calcolabile esattamente, bisogna concludere che non c’è rapporto finito di commensurabilità tra diagonale e lato.

Tuttavia, quando ancora non era noto il carattere irrazionale di , non conoscendo il numero corrispondente a quel valore, si cercò d’individuarlo, convinti che fosse possibile. Bisognava, pertanto, escogitare un procedimento per pervenire, dopo un certo numero di operazioni, al calcolo di un tale valore. E si partí, a tale scopo, dalla seguente ipotesi: se il quadrato costruito sulla diagonale è il doppio del quadrato costruito sul lato, bisogna allora verificare se esista un numero, doppio di un certo numero quadrato (2x²) tale che estraendone la radice quadrata risulti un numero perfettamente esprimibile con una sola cifra o per mezzo di una quantità finita di cifre; in tal caso, quest’ultimo numero, sottoposto all’operazione di elevazione al quadrato, darà di necessità un altro numero quadrato (y²), Sicché 2x²= y², In breve: bisogna verificare se il doppio di un numero quadrato sia, a sua volta, un numero quadrato. Se si verifica che 2x²= y², allora sarà un numero razionale in quanto è, di certo, un numero razionale. E poichécostituisce la misura della diagonale, questa risulterà espressa da un numero razionale; e, di conseguenza, la diagonale sarà commensurabile con il lato.

A tal fine si pensò di procedere ordinatamente ad aumentare la misura del lato, e conseguentemente della diagonale, per vedere che cosa accadesse, mano a mano, tra i valori numerici che esprimono l’area dei quadrati costruiti sul lato e sulla diagonale.

Pertanto: dato il lato = 1, il quadrato della misura del lato = 1, il quadrato della misura della diagonale = 2 (= 2 * l); dato il lato = 2, il quadrato della misura del lato = 4, il quadrato della misura della diagonale = 8 (= 2 * 4); dato il lato = 3, il quadrato della misura del lato = 9, il quadrato della misura della diagonale = 18 (= 2 * 9). E cosí via.

Da questo procedimento, però, risultava che non esistono numeri quadrati (y²), che siano uguali al doppio di un certo numero quadrato (2x²) sicché la diagonale restava ancora incommensurabile con il lato; non rimaneva, quindi, altra alternativa ai matematici antichi che tentare di approssimarsi al valore di ; e lo stesso procedimento ora descritto offriva una possibilità. Infatti, in alcuni casi il doppio di un certo numero quadrato differisce di 1, in piú o in meno, rispetto ad un altro numero quadrato. Primo esempio: dato il lato = 2, il suo quadrato = 4, il doppio di questo numero quadrato = 8; ora, dato il lato = 3, il suo quadrato = 9; orbene, il numero 8 (equivalente al quadrato costruito sulla diagonale in una figura quadrata a lato = 2) differisce di una unità, in meno, rispetto al numero 9 (che esprime l’area del quadrato costruito sul lato = 3). Secondo esempio: dato il lato = 5, il quadrato = 25, il doppio di questo numero quadrato è 50; e poi, dato il lato = 7, il quadrato di questo numero è 49; anche ora si verifica che il numero 50 (che esprime l’area del quadrato costruito sulla diagonale in una figura quadrata a lato = 5) differisce di una unità – ma ora in piú – rispetto al numero 49 (che esprime l’area del quadrato costruito sul lato = 7). Procedendo oltre si può costatare il verificarsi di altri casi simili. Ma, cosa ben piú importante, si possono stabilire due serie di valori numerici crescenti, di cui la prima (1, 2, 5,12, 29, 70,169...), detta dei numeri laterali, contiene i numeri i cui quadrati, raddoppiati, differiscono di 1 dai quadrati dei numeri corrispondenti nella seconda (1, 3, 7, 17, 41, 99, 239 ...), detta dei numeri diagonali. E se si indica con I un numero della prima serie (numero laterale) e con d il corrispondente numero della seconda serie (numero diagonale), la relazione si può esprimere con la formula d² = 2 l^{2 ±} 1. Tale equazione, dunque, risulta verificata per le seguenti coppie dei numeri diagonali-laterali: 1 e 1, 3 e 2, 7 e 5, 17 e 12, 41 e 29, 99 e 70, 239 e 169, ecc... Infatti ad esse corrispondono, rispettivamente, i seguenti valori: 1 = 2 - 1; 9 = 8 + 1; 49 = 50 - 1; 289 = 288 + 1; 1681 = 1682 - 1, ecc... Dall’analisi della tavola di queste coppie e dei valori corrispondenti risulta che i casi in cui si verifica l’equazione sopra citata diventano sempre piú rari mano a mano che si avanza nella serie naturale dei numeri; inoltre, procedendo ordinatamente, si può costatare che i raddoppiamenti dei quadrati dei numeri laterali risultano approssimati, alternativamente, per difetto e per eccesso, ai quadrati dei numeri diagonali. Altra e piú importante constatazione:

dall’equazione sopra citata d² rappresenta un valore approssimato di 2 l^2;

allora è un valore approssimato di 2;

ossia se si dividono i numeri diagonali al quadrato per i corrispondenti numeri laterali al quadrato si otterranno dei numeri approssimati al 2;

e di conseguenza darà un valore approssimato di ;

ovvero, se si divide un numero diagonale per il corrispondente numero laterale, si otterrà un valore approssimato all’incommensurabile ; e se si procede sistematicamente nella divisione, si avrà una serie di valori che saranno alternativamente approssimati a , una volta per difetto ed una volta per eccesso; per di piú, a valori piú grandi di d e di l la divisione darà valori che rappresentano progressivamente uno scarto sempre minore nell’approssimazione a , ossia si sarà sempre piú vicini, una volta per difetto e una volta per eccesso, all’irrazionale (infatti basta dare uno sguardo ai valori decimali corrispondenti alle frazioni per costatarlo.

; ; ; ;

;

E saranno cosí ottenute due serie di valori convergenti, l’una "per difetto" e 1’altra "per eccesso", che hanno come loro limite ; e se mai fosse possibile continuare all’infinito il procedimento d’approssimazione, all’infinito, appunto, quel limite si toccherebbe.

Il Cosenza, dunque, sensibile ai reciproci influssi che indubbiamente sussistevano nell’epoca antica tra filosofia e matematica, a livello di metodo ed a quello di contenuto, rinviene in questo schema duale – e nella sua storia – la matrice piú significativa di quel che si è soliti indicare, in campo filosofico, quale "dualismo platonico". Ai procedimenti "per eccesso" e "per difetto" (hyperoche e elleipsis) egli collega gli altri termini duali "grande" e "piccolo" (mega e micron) e "piú" e "meno" (mallon e hetton) che tanto peso assumeranno nella concezione platonica; e con un attento senso storico indaga sugli schemi duali prima di Platone e perviene, infine, allo studio dello schema duale nell’evoluzione filosofica di Platone medesimo. Cosí, indirizzando l’interesse particolarmente a Repubblica, Filebo, Politico, Timeo e Leggi (ma non trascurando, naturalmente, altri dialoghi) affronta, nell’ambito della grossa questione degli agrafa dogmata platonici, il problema dell’attendibilità di quanto afferma Aristotele (nel 6° capitolo del libro A della Metafisica) sulla teoria platonica della derivazione delle Idee e dei numeri dalla diade indefinita di "grande" e "piccolo"; e ritenendo ipotesi attendibile che il concetto di diade indefinita e la nozione di grande-piccolo (certamente già esistenti all’epoca di Platone) siano stati elaborati, o rielaborati, da Platone sul modello dello schema duale offerto dal metodo dei numeri laterali e diagonali, o da uno analogo, ritiene di poter offrire in questo modo una giustificazione – e di rivelare una fondazione – del trascendentismo delle Idee in Platone. Anzi, nel cap. XXIII del suo studio, distingue due fasi nell’evoluzione della speculazione platonica intorno al concetto di irrazionale ed alla natura dell’Idea. In un primo momento l’irrazionale veniva concepito «come una sorta di valore aritmetico (razionale) sui generis», ossia di una tale eccedente razionalità da non lasciarsi mai esprimere per mezzo di un numero ordinario o per mezzo di un rapporto tra due numeri ordinari: e quindi da non permettere d’esser raggiunto, sia pure per approssimazione, dal nostro intelletto finito. Conseguentemente l’Idea, concepita ad immagine dell’incommensurabile, veniva pensata come «un’entità dotata di una propria individuale consistenza che il soggetto umano non riuscirebbe a ritrovare espressa in nessun oggetto particolare solo perché, pur essendo essa lí nel cosmo delle pure oggettività intelligibili, essa eccede e trascende il piano degli oggetti del comune e volgare sapere». In un secondo momento, invece, Platone concepisce l’irrazionale matematico come tale da non essere altro che un rapporto tra due serie numeriche infinite costituite da numeri interi o da rapporti frazionari; sicché l’irrazionale come rapporto non può essere identificato da nessuno dei termini di quelle serie; esso, pertanto, non può esser pensato come un numero razionale, sia pure sui generis, a cui, certo, non possiamo pervenire, ma che sarebbe pur sempre dello stesso genere dei numeri – interi o frazionari – costitutivi delle due serie. Sicché, analogamente, non risulta piú applicabile all’Idea, nell’interpretazione della sua natura, il primo concetto di irrazionale matematico come immagine o simbolo; e pertanto non rimane altra strada, a Platone, che concepire l’Idea come una sorta di radice irrazionale in senso proprio, cioè come un rapporto definito da due serie infinite e, come tale, estraneo per sua natura ai valori delle serie. In ogni caso la sussistenza ontologica dell’Idea rimane intatta, anzi viene giustificata; e si comprende meglio la sua separatezza dal mondo sensibile. Nel primo caso, infatti, sia pure concepita come un numero razionale di particolar genere, ma che oltrepassa tutti i numeri, essa trascende tutte le cose che le si approssimano; nel secondo, come l’irrazionale oltrepassa all’infinito tutte le serie convergenti di numeri, cosí l’Idea oltrepassa le serie delle cose che da essa "discendono" e che essa "trascende"; anzi, rivelando al finito intelletto umano la sua vera natura di limite estremo ed in sé irraggiungibile, solo ora essa veramente le sovrasta.

Il Maccioni, invece, procede in modo del tutto diverso: poiché non si propone d’individuare i remoti influssi scientifici sulla formazione della personalità culturale di Platone, non pone tra i suoi intendimenti quello d’eseguire un’accurata raccolta dei passi platonici d’interesse matematico per lavorarvici con metodo storico. Il suo scopo è d’effettuare una ricerca-esperimento. Partito infatti dall’esigenza di una generale verifica – all’interno stesso del costruirsi e dello svilupparsi del pensiero platonico – del graduale e progressivo configurarsi dei rapporti tra filosofia e matematica, in particolare dell’effetto che la conoscenza matematica ha procurato – non solo a livello patente, ma anche a quello latente – sulla strutturazione logica del discorso filosofico, non si è piegato alla facile tentazione di procedere ad una tale verifica generale – infatti non gli sfugge che una lettura completa, anche di tipo "radiografico", dei dialoghi, in questa prospettiva, è impresa che richiede piuttosto un impegno d’équipe perché possa risultare di una qualche scientifica utilità –, e tenta con questo saggio di effettuare una verifica parziale, in un orizzonte piú limitato, su un testo che promette d’essere abbastanza "reattivo" all’indagine.

Ma perché proprio l’Eutidemo? Invero non mancano testi, a nostro avviso, che avrebbero agevolato la ricerca, mentre questo dialogo sembra a tutta prima esser tra i meno indicati allo scopo; oltre tutto resta pur sempre un’operetta di difficile interpretazione, sulla cui "collocazione" logica e cronologica nell’ambito della produzione platonica la tradizione storiografica si è divisa in due opposti partiti: il primo, attribuendole un significato polemico – quello di mettere in ridicolo gli eristici –, la inserisce – come momento particolare e specifico – all’interno della piú generale polemica con i sofisti, e la colloca nel novero dei dialoghi "giovanili"; il secondo, sulle orme di Wilamowitz, riconoscendole un’intrinseca complessità e stimando l’evidente polemica contro gli eristici l’occasione che l’"adulto" Platone si crea per dire, al di là dei manifesti paradossi logici, cose ben piú importanti e personali, opta con decisione per la sua collocazione tra i dialoghi "maturi". Allora – sembra che il Maccioni dica – se esperimento bisogna fare, lo si esegua nelle condizioni meno favorevoli alla verifica dell’ipotesi.

Quali i risultati della ricerca? L’Eutidemo è preceduto dal Menone (Wilamowitz e i suoi seguaci, dunque, avevano ragione); l’eristica, poi, rappresenta per Platone, dal punto di vista logico, qualcosa di ben piú importante di quel che essa stessa esteriormente manifesta e di quel che comunemente si ritiene nella valutazione storica del fenomeno; non gioco, non paradosso, non frutto degenerato della sofistica, non sterile esasperazione di modelli logici, non atteggiamento tralignante di scuole socratiche che a cuor leggero si sono allontanate dalla loro matrice, abbandonandosi all’uso del sofisma reso infecondo dalla mancanza delle originarie ispirazioni etiche; ma, al contrario, frutto maturo della migliore sofistica. I Sofisti, infatti, avevano rivendicato la necessaria riconduzione del discorso degli scienziati e dei filosofi all’ambito del discorso semplicemente umano, del discorso ordinario e comune degli uomini. Gli eristici procedono oltre queste posizioni; essi, partendo dalla constatazione della ribaltabilità, dall’interno, del discorso ordinario – persino delle stesse parole, del loro senso e significato – rivelano e proclamano la duplice natura del linguaggio, ne additano l’"ambiguità" ; e tale duplicità, tale ambiguità investe, pertanto, ineluttabilmente anche il linguaggio scientifico e filosofico. Platone, pertanto, dall’analisi attenta del fenomeno eristico ricava l’intuizione che la filosofia ha bisogno, e necessità, di ritrovare un "altro" tipo di discorso – e con esso un’"altra" logica – diverso da quello comune; e mostra, già dalla composizione del Menone, d’avere gli elementi di soluzione del problema: per acquistare esattezza rigore univocità, per porsi al riparo dall’ambiguità, per sottrarsi alle critiche sofistiche ed ai provocatori paradossi eristici, il discorso filosofico non deve semplicemente "adottare" la matematica come un suo esteriore modello esemplare, né deve "utilizzarla" come un mero strumento, ma deve strutturarsi con logica matematica; non solo; a sua volta, e correlativamente, il discorso matematico deve esser posto in coordinazione ed in continuità con quello filosofico, deve prolungarsi in questo; di modo che, mentre il secondo conserva il procedere metodicamente rigoroso del primo, ne indaga le ragioni, le teorizza, e vi apporta, all’occorrenza, le opportune integrazioni; il primo, a sua volta, trova nel secondo la sua legittimazione teorica, e con ciò stesso la sua fondazione filosofica. In virtú di questo mutuo aiuto entrambi i discorsi riescono a sottrarsi alla genericità e all’approssimazione del linguaggio ordinario ed esprimono con pienezza la loro naturale vocazione.

Questo rapporto, secondo il Maccioni, è impostato con consapevolezza già nel Menone e nell’Eutidemo.

Il Menone, per la sua ricchezza di contenuti matematici (definizione astratta ed "euclidea" di figura, duplicazione del quadrato, discorso sull’ipotesi geometrica) è da ritenersi un frutto meditato di un interesse già da tempo maturato, coltivato con studio attento, ed ormai tradotto in termini filosofici. Ma ciò che piú importa al Maccioni è che proprio nel Menone è possibile ritrovare una teoria "matematica" del metodo di ricerca filosofico. Per procedere da dialettici e non da eristici bisognerà che, al modo dei geometri (come esplicitamente vien detto), si assuma inizialmente una definizione convenzionale, si formuli poi il ventaglio di ipotesi, si individui quindi fra le ipotesi quella che meglio si adatti al problema in esame e che permetta la proficua prosecuzione dell’indagine, si identifichino infine tutte le difficoltà che si frappongono e si effettui la loro progressiva eliminazione; in breve, bisognerà che si esegua la ricognizione di tutte le condizioni per la corretta impostazione di un problema e per la sua risoluzione. Con questo metodo non si arriverà immediatamente alla cosa cercata, ma si potrà lentamente e gradualmente circoscriverne l’essenza; si perverrà all’idea corrispondente all’oggetto della ricerca; non all’Idea in sé, ma all’idea per noi; in altre parole, al modo, unico e solo, in cui noi possiamo e dobbiamo parlare della natura della cosa. Di qui la necessità, prospettata dal Maccioni, di rivedere, ri-comprendere, da questo nuovo punto di vista, i temi della reminiscenza e dell’immortalità dell’anima.

Dall’esame di questa opera, condotto talvolta con voluta minuziosità filologica, il Maccioni trae il convincimento che nell’Eutidemo lo stesso Platone, intenzionalmente, passo a passo, faccia dei precisi rimandi a quanto detto nel Menone, e che noi possiamo ritrovare questi rimandi solo se leggiamo i due dialoghi nella prospettiva "matematica"; il che gli dà, naturalmente, la prova della precedenza cronologica del Menone rispetto all’Eutidemo. Cosí, se nel Menone viene a fondarsi la necessità di un tipo di discorso differente da quello dell’eristica e si affaccia il criterio in virtú del quale filosofia e scienza possono sottrarsi alle ambiguità, nell’Eutidemo Platone mima ironicamente, ma in controluce (in tutti i suoi dialoghi l’ironia vien sempre adoperata in proporzione, di tono e d’estensione, alla validità degli avversari), gli atteggiamenti eristici; infatti ne ha scoperto il trucco ed è in grado di svelare, sia pure per vie traverse, la natura del discorso ordinario che, suo malgrado, si offre all’eristica come bersaglio. E, di conseguenza, mentre nel Menone si discute della "vera" natura della matematica, della sua possibile e necessaria relazione alla filosofia, nell’Eutidemo si viene meglio configurando questo rapporto, se ne approfondiscono i motivi inevitabilmente collegati; in sintesi, si prefigura la subordinazione della matematica alla dialettica ed il compito "direzionale" che i dialettici hanno anche rispetto agli studi matematici; cose che saranno meglio teorizzate e compiutamente dimostrate nella Repubblica.

A questa prima parte del suo lavoro il Maccioni fa seguire tredici appendici che, tuttavia, risultano essenziali alla giusta comprensione del testo in quanto forniscono i presupposti tecnico-matematici sulla base dei quali si è operato l’esperimento, ed il corredo di riferimenti alla storia del pensiero matematico e filosofico e alla letteratura critica col quale questo saggio, il suo metodo ed i suoi risultati vengono giustificati.

Le appendici in questione non si prestano in questa sede ad un ragguaglio analitico. Pertanto conviene solo segnalare: alcune interessanti considerazioni su Anassagora; la trattazione – per quanto riguarda gli eleati – sul "duplice discorso" e sul rapporto tra aletheia e doxa (che per l’autore è da rivedere e da porre su nuove basi); la discussione – per quanto attiene a Platone – sulla questione degli agrafa dogmata e sulla "attività di scuola", oltre che certe interpretazioni e delucidazioni su infinito e diade illimitata, piú e meno, grande e piccolo; ed infine il discorso sulle Confutazioni sofistiche aristoteliche interpretate come confutazioni eristiche.

E’ opportuno, invece, soffermarsi sulla decima appendice, per quegli sviluppi tematici che segnano una ragguardevole differenza tra Maccioni e Cosenza in riferimento al problema platonico, di primaria importanza, del trascendentismo e del dualismo. Infatti, mentre il Cosenza sostiene il trascendentismo e lo giustifica ritenendolo l’esito naturale dell’adozione, sul piano filosofico, dello schema duale di stampo pitagorico, il Maccioni, procedendo in una lettura di Platone piú marcatamente "eudossiana", giudica che il trascendentismo possa – e forse debba – esser riveduto e non poco ridimensionato.

Secondo il Cosenza, le grandezze incommensurabili risultano, evidentemente irrazionali dal punto di vista delle grandezze finite; perciò, le serie dei valori – quella per eccesso e quella per difetto – che "portano" ad una radice irrazionale testimoniano il tentativo che la ragione compie di un progressivo avvicinamento ad una realtà matematica di tipo totalmente diverso, distinta non solo, com’è naturale, dai singoli valori delle serie, ma anche dalle due serie stesse e dal reciproco rapporto tra i termini delle due serie; sicché, quando Platone porta sul piano filosofico la riflessione sull’incommensurabile, l’Idea non gli si può rivelare se non una realtà non identificabile con nessuna realtà sensibile e con nessuna "classe" di realtà finite; e come l’irrazionale matematico costituisce una oggettività logicamente distinta dalle due serie tendenti ad approssimarvisi, cosí l’Idea non può esser considerata se non una realtà ontologicamente separata dalle cose e dai gradi qualitativi che esse esprimono nell’approssimazione a quel valore; in breve, nel rapporto Idea-cose Platone ha individuato, con l’ausilio della matematica, l’Idea come il limite dell’approssimazione, e, proprio in quanto limite, essa trascende le cose, è separata, è ineffabile – nel senso che non se ne può definire la natura in sé, con i puri mezzi del linguaggio logico – , dualisticamente contrapposta alle cose finite e in relazione con esse solo nei termini della partecipazione ed imitazione. Il Maccioni, invece, ritiene centrale in Platone – anche nel Platone giovane – quel concetto di rapporto proporzionale che, formulato in modo esplicito nel sesto libro della Repubblica, ha le sue radici nella geometria eudossiana e la sua compiuta definizione tecnica nel quinto libro (quello, appunto, "eudossiano") degli Elementi di Euclide. Secondo questa definizione, date le grandezze, tra loro omogenee, A, B, C, D, esse risulteranno proporzionali tra loro a due condizioni: a) che le grandezze A e C siano prese secondo un uguale e qualunque multiplo m, e le grandezze B e D siano assunte secondo un uguale e qualunque multiplo n; b) che se mA è maggiore uguale o minore di nB, anche mC sia maggiore uguale o minore di nD. Tale rapporto proporzionale, fa notare il Maccioni, è valido sempre, sia che si tratti di grandezze all’origine commensurabili, quindi di grandezze come entità finite, sia che si tratti di grandezze originariamente incommensurabili, ossia di grandezze infinite. Ciò aveva ben presente Platone, il quale, dunque, avrebbe intuito che l’irrazionale è, sí, in sé, una grandezza indefinibile, ma non per questo non può rientrare nel rapporto proporzionale (anzi, può essere in qualche modo addirittura misurata nel suo rapporto agli altri termini, con una sorta di "aggiramento" dell’irrazionalità), una volta riconosciuta la caratteristica della proporzionalità di comprendere, connettere, relazionare ogni tipo possibile di grandezze. Pertanto, quando Platone pone l’Idea, rispetto alle cose, come l’equivalente dell’incommensurabile, essa resta, in sé, ineffabile, non definibile; tuttavia, l’estensione della proporzionalità al rapporto Idea-cose consente, nel discorso ontologico, di stringerla con un saldo vincolo logico agli enti finiti, di liberarla dal suo isolamento e dalla sua separatezza. Per Maccioni, insomma, dato che per Platone la proporzionalità poteva mettere ordine e connessione logica anche là dove non c’è commensurabilità, la disputa tra trascendenza o immanenza dell’Idea alle cose, nel senso che l’una escluderebbe l’altra, ed il conseguente problema del dualismo risultano non pienamente giustificabili; infatti si può parlare, in questa prospettiva, di un trascendentismo senza vera trascendenza, di imitazione e partecipazione delle cose all’Idea senza dualismo da una parte, e senza "degradazione" neoplatonica dall’altra. Infatti le Idee, in quanto realtà d’altra natura rispetto alle cose, sono, in sé, arreta e quindi trascendenti le cose; ma tale trascendenza non implica separazione, poiché esse, grazie al rapporto proporzionale, si situano all’interno di una logica connessione con le cose.

Cosí, mentre Cosenza ritiene che Platone, partendo dall’assimilazione dell’Idea all’incommensurabile, non poteva che teorizzare la trascendenza e la separazione dell’Idea e non poteva che teorizzare il rapporto di imitazione e di partecipazione, che "consacrava" il dualismo, Maccioni sostiene che Platone, costatata l’irriducibilità dell’Idea rispetto alle cose, abbia cercato una via per uscire dalle secche del cosiddetto dualismo, che rendeva monco il discorso ontologico ed irrisolto sul piano logico il rapporto Idee-cose, ed abbia trovato nella proporzionalità lo strumento con cui l’umana ragione può spiegare quel rapporto "riducendo", relativizzando, la trascendenza dell’Idea attraverso l’eliminazione della sua assoluta separazione.

A queste diverse prospettive di lettura corrispondono – supponiamo – due diverse ipotesi di fondo. Mentre Cosenza sembra convinto che Platone aspirava a cogliere la natura in sé dei termini in relazione e la caratteristica dell’oggettiva relazione, e che, giunto all’acquisizione della trascendenza dell’Idea, non poteva trovare altra alternativa che teorizzare con convinzione la sua separazione, Maccioni pare persuaso che Platone abbia abbandonato quelle aspirazioni proprio attraverso l’analogia istituita tra Idea ed incommensurabile, che impediva di cogliere un rapporto oggettivo tra Idea e cose, ed abbia voluto individuare piuttosto la possibilità logica di identificare un rapporto razionale tra realtà che, in sé e per sé, non offrivano alla sua intelligenza segni obiettivi di immediata connessione ontologica.

Cosí, mentre il Cosenza si pone in continuità con la piú consolidata prospettiva storiografica d’intelligenza del pensiero platonico, arricchendola e giustificandola con nuova metodologia, il Maccioni, rimescolando le carte, ci presenta un’ipotesi interpretativa non priva d’un certo fascino, per la possibilità che offre di leggere l’opera platonica ad un nuovo livello di profondità, ma che desta anche qualche perplessità e richiede ulteriori chiarimenti.

Tra i motivi di perplessità quello che segue ci sembra di notevole rilevanza: se assumiamo l’ipotesi che la proporzionalità sia divenuta, già prima della Repubblica, lo strumento principe per la soluzione del problema del rapporto Idea-cose, dato che quel rapporto matematico è istituibile solo tra grandezze omogenee tra loro, dovremmo allora concludere che Platone riteneva sussistere omogeneità tra Idea ed enti finiti. Il che, invero, appare quanto meno problematico. Ma poiché la cura e la ricchezza di articolazioni con cui il Maccioni ha condotto il suo discorso, e la vigile attenzione con cui ha giustificato ogni passaggio logico inducono ad escludere una cosí ingenua "svista", ci permettiamo, utilizzando gli elementi di discorso che lo stesso autore offre, di avanzare una congettura volta ad offrire qualche spunto utile per il dissolvimento della perplessità.

Platone non riteneva, certo, omogenee tra loro Idee e cose; e non poteva se non concepire la trascendenza dell’Idea; ma ciò che lo "preoccupava" non era tanto la trascendenza, quanto il dualismo, la separazione dell’Idea, che avrebbe abbandonato a se stesso, senza un ordine e senza un valore, il mondo sensibile, non costituendo un’effettiva fondazione teoretica del rapporto tra i due mondi le soluzioni della mimesi e della metessi, bisognose anch’esse di una fondazione. Costatata quindi l’impossibilità di cogliere un tale rapporto in sé, Platone si è indirizzato alla ricerca di una soluzione logica che potesse giustificare razionalmente la possibilità di quel rapporto e con cui queste realtà, in sé disomogenee, potessero, sul piano del pensiero, divenire omogeneizzabili. Quindi il problema si spostava; non era piú quello dell’omogeneità delle realtà, ma dell’omogeneizzabilità, prima di tutto, tra i contenuti del pensiero corrispondenti a quelle realtà. Poiché la proporzionalità permetteva una razionale e "matematica" articolazione tra i vari gradi della conoscenza, non dovette risultare infondata l’ipotesi di istituire un rapporto proporzionale anche tra i contenuti conoscitivi corrispondenti a quei gradi; e se a livello di noesis si trovava un contenuto concettuale equivalente all’irrazionale matematico, ciò non escludeva che anche l’Idea, in quanto oggetto di pensiero, potesse rientrare nel rapporto proporzionale, data la caratteristica di quel rapporto di legare tra loro grandezze di qualsivoglia natura; pertanto, sul piano del pensiero, Idee e cose erano omogeneizzabili, e quindi relazionabili alla sola condizione che entrambi i termini potessero soddisfare in qualche modo ad esigenze di carattere logico, o piú precisamente alle regole della relazionabilità; e poiché nessuna condizione negativa ostava a tale relazionabilità, Platone poteva asserire la possibilità, sul piano del pensiero, di applicare il rapporto proporzionale ai termini concettuali relativi ad Idea e cose.

Ma Platone doveva essere anche ben consapevole che con tale operazione si dava solo la possibilità di "discorrere" astrattamente di un eventuale rapporto "reale" tra l’ordine dell’essere e quello del divenire. Restava cioè sempre lo scoglio dell’assoluta separazione dell’Idea che impediva la teorizzazione e, a maggior ragione, la verifica di quella connessione. Quindi al filosofo si poneva la questione se era riscontrabile una qualche possibilità di sostenere un rapporto proporzionale oggettivo tra Idea e cose, senza pretendere un’omogeneità ontologica tra i due termini, ossia senza pretendere di considerare identiche realtà che per loro specifica natura non lo sono. Tale possibilità era ipotizzabile, perché la natura della proporzionalità matematica è tale che può consentire non solo la connessione tra grandezze identiche per natura, e quindi omogenee, ma anche la relazione tra grandezze che nel (e per il) rapporto sono omogeneizzabili.

Allora nasceva la domanda: sono omogeneizzabili Idea e cose?

Il ricorso alla riflessione filosofica sulla matematica permetteva a Platone di concepire questa idea: dati due tipi diversi di grandezze, se è applicabile il rapporto proporzionale sia a quelle del primo ordine che a quelle del secondo, e se sussiste reciproca corrispondenza sia tra le grandezze sia tra i rapporti proporzionali dei due ambiti, allora tali grandezze sono omogeneizzabili e non risulta manifestamente infondato che esse siano relazionabili con rapporto proporzionale.

Allora, poiché è possibile riscontrare il rapporto proporzionale sia sul piano ideale – tra le essenze – sia sul piano del sensibile – tra le cose, tra gli eventi, tra le azioni – , e poiché quel tipo di rapporto nell’ordine del sensibile rispecchia quello sussistente tra le Idee, è possibile ipotizzare che Idea e cose siano omogeneizzabili e che sia possibile relazionarle con rapporto proporzionale. Con ciò – Platone doveva ben saperlo – non si era certo giunti all’affermazione del rapporto "reale", ma solo alla condizione della possibilità di scoprirlo, alla condizione di discuterne con fondamento; tuttavia si era dato comunque un contenuto sostanziale alla teoria della mimesi e della metessi. La partita, appunto, non poteva dirsi certo conclusa; restava pur sempre la trascendenza ontologica dell’Idea che rendeva difficile verificare quel rapporto mimetico e metessico.

Pertanto, il compito fondamentale a cui si dedicò Platone, specialmente nella seconda parte della sua esistenza, fu di procedere a quella verifica sul piano del mondo sensibile, in particolare nel campo dello studio fisico e di quello politico, verifica non conclusa dal filosofo perché praticamente inesauribile. E se egli a questo scopo si serví spesso dell’eikos logos, del mito, ciò avvenne proprio perché essa è inesauribile (mentre la sua premessa logica poté essere soddisfatta e perciò esaurita) e non, semplicisticamente, perché uno studio di tal sorta non poteva pervenire se non a conoscenze imprecise ed approssimative.

Se questa ipotesi di soluzione del problema è fedele all’impostazione ed al carattere del suo discorso, allora il Maccioni ci appare ancor piú chiaramente muoversi, ma in modo attivo e creativo, sulla linea della tradizione che risale agli storiografi di estrazione neokantiana.

Quanto al rapporto con quello del Cosenza, i due lavori si distinguono per radicali differenze di premesse ipotetiche, di utilizzazione del metodo, e di risultati; tuttavia gli esiti delle loro ricerche, a ben vedere, non si escludono necessariamente; in ogni caso, poi, entrambi i saggi possono esser ritenuti, nonostante tutto, in qualche misura complementari, concorrendo, ognuno con la sua specificità, ad offrirci elementi preziosi nuovi e diversi per la ricostruzione della ricca e complessa personalità filosofica di Platone.