CAPITOLO NONO
Pensiero scientifico e nuove scienze
5. Matematica, logica e logica matematica
La ricerca scientifica richiedeva, per il suo progresso, anche la soluzione di
problemi che non appartenevano specificamente al campo della scienza. Come ad
esempio quello della «soggettività della conoscenza» o
quello delle condizioni che assicurino il «rigore interno» di un
discorso scientifico.
Un passo significativo in quest'ordine di problemi fu compiuto da Bernhard
Bolzano (1791-1848), il quale svincolò il problema della
verità dalla tradizionale impostazione psicologica. Si deve parlare,
egli dice, di «verità in sé» distinta dalla
«verità per me»; c'è una verità in sé
che è tale indipendentemente dal fatto che qualcuno la pensi; per cui la
verità o la falsità di una «proposizione in
sé», aggiunge, sussiste anche se nessuno mai la riconosca.
Ciò permette di affermare che la verità matematica, ad esempio,
è tale anche prima che essa abbia ricevuto una formulazione, e a
prescindere dal fatto ch'essa sia stata tradotta in termini formali. Per cui
non è assurdo parlare di «insieme infinito». Bolzano anzi
rivendica, in generale, l'«oggettiva esistenza» degli
«insiemi», che, pertanto, non sono una semplice
«costruzione» mentale.
Allo scopo di dimostrare questo fatto in un modo evidente per tutti mi permetto
di sollevare la questione se non ci siano ai poli della terra corpi fluidi o
solidi, se non ci siano aria, acqua, pietre e simili, se questi corpi non
agiscano l'uno sull'altro secondo determinate leggi, ad esempio in modo tale
che le velocità che essi si comunicano a vicenda nella loro collisione
siano inversamente proporzionali alle loro masse e simili, e se tutto questo
non avvenga anche quando non ci sia nessun uomo né alcun altro essere
pensante ad osservarlo. Se si risponde affermativamente a questa domanda (e chi
non sarebbe costretto a rispondere affermativamente?), allora ci sono anche
proposizioni e verità in sé che esprimono tutti questi
avvenimenti, senza che ci sia nessuno che le pensi o che le conosca. E in
queste proposizioni è frequente la menzione di totalità e di
insiemi; ogni corpo, infatti, è una totalità, e produce
moltissimi dei suoi effetti soltanto mediante l'insieme delle parti da cui
è formato. Esistono quindi insiemi e totalità anche senza che ci sia un essere che li pensi.
(I paradossi dell'infinito)
E quando si obietta, nota il Bolzano, che è impossibile ammettere
l'esistenza di insiemi «infiniti», perché «un
insieme infinito non può mai essere riunito a formare un tutto,
né può mai essere raccolto insieme nel pensiero», si
compie un errore enorme; errore che si fonda sul pregiudizio che «per
pensare un tutto consistente di certi oggetti a, b, c,
d,... ci si debba essere prima costruiti delle rappresentazioni
mentali che raffigurino ciascuno di questi oggetti separatamente».
È un pregiudizio falso: infatti anche per gli insiemi finiti non ho bisogno di rappresentarmi ogni singolo termine dell'insieme.
Io posso pensare all'insieme, all'aggregato o, se si preferisce cosí,
alla totalità degli abitanti di Praga o di Pechino, senza essermi
prima rappresentato ciascuno di questi abitanti separatamente.
(I paradossi dell'infinito)
Ed è questa possibilità che mi permette di dire cose vere degli
abitanti di Praga, senza sapere se essi sono centomila o duecentomila.
Dunque anche il concetto di «insieme infinito» non richiede la
rappresentazione singolare dei suoi infiniti membri, e quindi non è
impossibile che tale insieme esista obiettivamente. Ma esiste davvero?
Io oso rispondere affermativamente con decisione. Già nel dominio
delle cose che non hanno alcuna pretesa di attualità e neppure persino
di possibilità, ci sono incontestabilmente insiemi che sono
infiniti. L'insieme delle proposizioni e verità in sé
è, come si può molto facilmente riconoscere, infinito; se
infatti fissiamo la nostra attenzione su una qualunque verità, ad
esempio sulla proposizione: «ci sono verità», o su una
qualunque altra proposizione a piacere, e la indichiamo con A, troviamo che la
proposizione espressa dalle parole: «A è vera», è
diversa dalla proposizione A, poiché quella ha manifestamente un
soggetto completamente diverso da questa. Precisamente, il suo soggetto
è l'intera proposizione A. Ora, mediante la stessa legge con cui abbiamo
derivato dalla proposizione A un'altra proposizione diversa da essa, che
chiameremo B, si può derivare anche da B una terza proposizione C, e
cosí via senza fine. L'aggregato di tutte queste proposizioni, di cui
ognuna sta con quella che la precede nella relazione appena indicata di averla
come soggetto e di asserire di essa che è una proposizione vera, questo
aggregato - dico - comprende un insieme di membri (proposizioni) che è
piú grande di ogni insieme finito. Il lettore rileverà la
somiglianza che la serie di queste proposizioni ha con la serie dei numeri
considerata: una somiglianza che consiste nel fatto che per ogni membro
della seconda c'è un membro della prima che gli corrisponde, nel fatto
che per qualunque numero intero, per quanto grande esso sia, c'è un
numero intero ad esso uguale di proposizioni differenti. E da ciò segue
che l'aggregato di tutte queste proposizioni possiede una molteplicità
che è maggiore di ogni numero intero, ed è quindi infinita.
(I paradossi dell'infinito)
Con Bolzano dunque viene ad essere fondata quella «teoria degli
insiemi» che avrà grandi effetti sullo sviluppo della matematica.
Sui presupposti di Bolzano infatti Georg Cantor elaborò una
«teoria dei numeri infiniti». Riportiamo, per comprendere meglio
i termini di questa teoria, il discorso che B. Russell fa nell'opera La
saggezza dell'Occidente:
L'infinità dei numeri aveva provocato imbarazzo fin dall'epoca di Zenone
e dei suoi paradossi. Se poniamo mente alla corsa tra Achille e la tartaruga,
possiamo esporre come segue uno degli aspetti piú inquietanti del
paradosso: ogni punto in cui Achille arriva, è un punto che la tartaruga
ha occupato. I due concorrenti hanno dunque raggiunto in ogni momento un egual
numero di traguardi. Tuttavia, evidentemente, Achille percorre uno spazio
maggiore. Ciò sembra contraddire il concetto del senso comune, secondo
cui il tutto è maggiore della parte. Ma quando abbiamo a che fare con
insiemi infiniti, non è piú cosí. Per fare un esempio
semplice, la serie dei numeri interi positivi, che è un insieme
infinito, comprende i numeri pari e i numeri dispari. Se si tolgono tutti i
numeri dispari, si può pensare che rimanga la metà di ciò
da cui si è partiti. Invece i numeri pari che rimangono sono altrettanti
di tutti i numeri che vi erano all'inizio. Tale conclusione piuttosto
sorprendente è facile da dimostrare. Scriviamo prima la serie dei numeri
naturali e poi, accanto ad essa, la serie risultante raddoppiando via via
ciascun membro. Per ogni numero della prima serie vi è un numero
corrispondente nella seconda. Come dicono i matematici, vi è tra le due
serie una corrispondenza di uno a uno. Dunque le due serie hanno lo stesso
numero di termini. Perciò nel caso degli insiemi infiniti, una parte
contiene tanti termini quanti ne contiene il tutto. È questa proprietà
che Cantor adopera per definire un insieme infinito.
(La saggezza dell'Occidente)
Georg Cantor (1845-1918) diede sistemazione, con Julius Richard Dedekind
(1831-1916), a quella «teoria degli insiemi» che
comporterà nuovi sviluppi non solo in campo matematico, ma anche nel
campo degli studi di logica. Senza entrare nei dettagli diremo che egli
scoprí, come proprietà fondamentali degli «insiemi
infiniti», oltre quella già indicata che «l'insieme
infinito è equivalente ad una sua parte», anche quella per cui
«il numero degli elementi che lo costituiscono varia col variare
dell'ordine in cui essi sono stati contati»; inoltre dimostrò che
i possibili insiemi finiti sono raggruppabili in tre specie diverse con diverse
caratteristiche.
Gli sviluppi della scienza avevano dunque posto anche problemi di logica. Gli
studi di questa disciplina mirarono anzitutto ad arricchire il sistema logico
aristotelico. Proseguirono infatti le ricerche sull'induzione e sulla
deduzione. Soprattutto GEORGE BENTHAM (1800-1884) e WILLIAM HAMILTON
(1800-1856) mostrarono gli sviluppi della teoria logica con la
«quantificazione» non solo dei soggetti delle proposizioni, ma
anche dei predicati. AUGUSTUS DE MORGAN (1806-1871) mostrò quelli
derivati dall'introduzione di termini negativi e quelli connessi alla
traduzione della copula (è) (che nella proposizione vincola soggetto e
predicato) nel concetto di «relazione», che comporta la
possibilità di applicazione delle proprietà di simmetria e di
transitività.
Sicché era possibile derivare, come si è visto successivamente,
conclusioni sillogistiche del tutto nuove da premesse del tipo «tutti
gli uomini sono alcuni mortali», in cui, naturalmente, i concetti
fungenti da soggetto e da predicato sono intesi come «classi», e
in cui il rapporto affermativo o negativo, in virtù del concetto di
relazione, è inteso come rapporto di «appartenenza»,
cioè come rapporto di «inclusione» o
«esclusione», parziale o totale, dei soggetti rispetto ai
predicati. E la logica andò assumendo il carattere di un vero e proprio
«calcolo», tanto che ERNST SCHRÖDER (1814-1902)
elaborò un' «algebra logica».
Ma anche nel campo degli studi di logica vi fu una prima rivoluzione generata
dall'influsso che su di essi ebbero le nuove ricerche aritmetiche e
geometriche. La logica cosí perde quel vincolo con la realtà che
sussisteva ancora con Hegel; la realtà non è piú concepita
come il metro della verità di un procedimento logico corretto.
George Boole (1815-1864), ad esempio, cerca di delineare un «calcolo
logico» in cui la validità sia scissa da ogni riferimento al
reale. L'algebra simbolica, egli osserva, deriva il suo rigore non dal
significato dei simboli (x, y,...) o dal contenuto ch'essi
possono rappresentare, ma dalle leggi stesse con cui essi vengono relazionati.
Se dico: x sta ad y come 2x sta a 2y, tale
proposizione è vera per il rapporto di proporzione, non per il possibile
contenuto significativo di x e di y. Analogamente può
strutturarsi una logica. Anzi, egli sostiene, le leggi logiche sono formalmente
identiche alle leggi dell'algebra simbolica. Pertanto uno stesso procedimento
logico può essere applicato sia ad un problema aritmetico, sia ad uno
geometrico, e sia anche ad un problema di fisica. Ed è valido a
prescindere sia dalle «verità» delle proposizioni, sia dal
«tipo» di proposizioni, e sia dal modo in cui si suppongono
formati i concetti e le relazioni tra di essi. Pertanto:
Tutte le operazioni del linguaggio, come uno strumento del ragionamento,
possono essere realizzate con un sistema di segni composto dai seguenti
elementi:
1) Simboli letterali, come x, y, ecc., rappresentanti cose quali soggetti delle
nostre concezioni.
2) Segni di operazioni, come + , - , x , che stanno per quelle operazioni della
mente con cui le concezioni delle cose sono combinate o risolte in modo da
formare nuove concezioni coinvolgenti gli stessi elementi.
3) Il segno di identità, come =.
E questi simboli della logica sono nel loro uso soggetti a leggi definite, In
parte in accordo ed in parte no con le leggi dei simboli corrispondenti nella
scienza dell'Algebra.
Possiamo impiegare i simboli x, y, z, ecc., al posto dei sostantivi, degli
aggettivi, e delle frasi descrittive soggette alla regola di interpretazione
secondo cui ogni espressione nella quale diversi di questi simboli sono scritti
insieme rappresenterà tutti gli oggetti o individui ai quali i loro
diversi significati sono insieme applicabili, e alla legge secondo cui l'ordine
nel quale i simboli si succedono tra loro è indifferente.
(Le leggi del pensiero)
Inoltre:
Le parole «e», «o», interposte tra i termini
descrittivi di due o piú classi di oggetti, implicano che queste classi
siano affatto distinte cosí che nessun membro dell'una appartenga
all'altra. Sotto questo e sotto tutti gli altri aspetti le parole
«e» «o» sono analoghe al segno + in algebra, e le
loro leggi sono identiche. Cosí l'espressione «uomini e
donne» è, a parte i significati convenzionali, equivalente
all'espressione «donne e uomini». Se x rappresenta
«uomini» e y «donne», e + sta per «e»
ed «o», allora abbiamo:
x + y = y + x
un'equazione che potrebbe essere ugualmente vera qualora x ed y
rappresentassero numeri, e + fosse il segno dell'addizione aritmetica.
(Le leggi del pensiero)
E quando si usa il termine «eccetto», in questa algebra logica
esso è rappresentato dal segno - , e indica l'esclusione di una parte
dal tutto, sul piano logico come su quello aritmetico.
Non ci addentreremo nel discorso della traduzione in termini simbolici della
struttura di un giudizio, o del procedimento sillogistico, per il quale, a
giudizio di Boole, valgono le leggi delle equazioni. Ciò che c'è
di notevole in questi discorsi è il presupposto di base:
Poiché i processi formali di ragionamento dipendono solo dalle leggi dei
simboli e non dalla natura della loro interpretazione, ci è permesso
trattare i simboli di cui sopra x, y, z, come se essi fossero simboli
quantitativi del genere descritto. Possiamo infatti lasciare da parte
l'interpretazione logica dei simboli nella equazione data; convertirli in
simboli quantitativi, suscettibili solo dei valori 0 ed l; eseguire su di loro
come tali tutti i richiesti processi di soluzione; e finalmente ricondurli alla
loro interpretazione logica.
(Le leggi del pensiero)
Inoltre una tale concezione della logica la rende totalmente indipendente dalla
filosofia, e rende impossibile la sua identificazione con la metafisica.
La Filosofia è descritta come la scienza dell'esistenza reale e come la
ricerca delle cause. E perché nessun dubbio possa rimanere circa il
significato della parola causa, si dice anche che la filosofia
principalmente investiga sul perché. Queste definizioni sono
comuni tra gli antichi scrittori. Si può notare, di passaggio, che, a
qualsiasi grado, ha prevalso la credenza secondo cui l'ufficio della filosofia
è immediatamente legato allo studio delle cause e che si è
chiaramente stimata ogni scienza il cui oggetto è la ricerca delle
leggi. Noi potremmo opporci sulla base della convinzione propria di molte menti
attente e riflessive, secondo cui, nell'ampiezza di significato prima
stabilita, la filosofia è impossibile. L'ufficio della scienza vera,
esse concludono, riguarda le leggi ed i fenomeni. La natura dell'Essere, il
modo di operare della Causa, il perché, sono fuori della portata
della nostra intelligenza. Ma noi non vogliamo il vantaggio di tale posizione;
né dubitiamo, sia raggiungibile o meno l'obbiettivo della filosofia, che
il desiderio che ci spinge a tentare non sia un istinto della nostra piú
alta natura. Concediamo anche che il problema che ha reso vani gli sforzi di
generazioni non sia senza speranza, che la «scienza della esistenza
reale», e «la ricerca delle cause», «quel
nocciolo» per cui «la Filosofia è sempre al
lavoro», non trascenda i limiti dell'intelletto umano. Io sono allora
costretto ad asserire, in accordo con questa concezione della natura della
filosofia, che la Logica non ne forma alcuna parte. Sulla base di una
classificazione vera, non possiamo associare piú oltre Logica e
Metafisica, ma Logica e Matematica.
(L'analisi matematica della logica)
Con ciò dunque la logica «formale» (che prescinde dai
contenuti, e che si propone solo la validità del processo e non la
verità dei risultati, cioè la loro rispondenza alla
realtà) diviene logica «simbolica», e questa con Boole si
configura come logica di tipo algebrico. Ma ciò apre anche la strada
alla riflessione sulla «logica matematica», cioè alla
convinzione che la matematica in sostanza si riduca a logica, o anche ad una
branca della logica.