Caduto l'implicito dogma dell'intangibilità della geometria euclidea e verificata la possibilità di costruire nuovi sistemi geometrici con procedimenti ipotetico-deduttivi sulla base di postulati ad arbitrio, molti matematici, poi, s'ingegnarono ad indicare altre possibili geometrie oltre quelle di Lobacevskij e di Riemann. Al punto che, successivamente, Poincaré parla di una quarta geometria di cui, egli dice, «citerò uno solo dei teoremi, e non sceglierò il piú singolare: una retta reale può essere perpendicolare a se stessa». Ormai, dunque, non c'era piú limite alla fantasia creatrice dei geometri: nacque una «geometria dello spazio a piú di tre dimensioni», che si proponeva di studiare le proprietà geometriche che sussisterebbero, appunto, se esistessero spazi a quattro o piú dimensioni; e sorse pure una «geometria non archimedea», fondata appunto sulla negazione del postulato di Archimede che afferma: «data una grandezza a, ed un'altra grandezza b maggiore di essa, esiste sempre un numero n tale che, moltiplicato per a, dia un prodotto maggiore di b».
Ma la ricerca matematica trovò anche altre strade; verso la metà dell'Ottocento nacque la «geometria proiettiva», che studia le proprietà che si verificano quando vengono attuate sezioni e proiezioni di figure; essa acquistò dignità di disciplina autonoma con CHRISTIAN VON STAUDT (1798-1867), il quale formulò un sistema geometrico su base metodologica esclusivamente assiomatica, senza ricorrere cioè a figure e misure. Inoltre lo svincolamento delle figure dalla realtà e l'ipotesi della loro «deformabilità» svilupparono quel filone già avviato da Eulero nel Settecento, che viene indicato con la definizione «topologia». Si immaginino figure, ad esempio, su materiale deformabile (un cerchio può divenire un rettangolo); quali sono le proprietà che permangono quando si verifica tale deformazione? Questa è la domanda fondamentale che sta alla base dello studio topologico. Già Eulero aveva indicato la formula relativa alle «reti piane», a cominciare dalla piú semplice: quella di un poligono. La formula è: V - S + F = 1; cioè: se si sottrae al numero dei vertici quello degli spigoli, e a questa differenza si aggiunge il numero delle facce, il risultato sarà 1. Ma anche altre proprietà vennero alla luce: due curve, ad esempio, s'intersecano sempre in un numero pari di punti; e ancora: se deformiamo i cerchi in rettangoli anch'essi s'intersecano in un numero pari di punti, e se si deformano i due rettangoli in due linee curve irregolari e chiuse, anch'esse s'intersecano in un numero pari di punti.
La scoperta piú curiosa in topologia fu effettuata da A.F. Möbius. Si prenda un rettangolo di carta, si incollino i lembi estremi (coincidenti con i lati brevi del rettangolo) ma dopo averne fatto ruotare uno di mezzo giro; si avrà un «anello» in cui non c'è faccia interna né faccia esterna, ma un'unica faccia; se infatti tracciamo una linea lungo l'anello, questa finirà là dove ha avuto inizio, essendo passata per tutta la superficie dell'anello. Con ciò cadde l'idea inveterata che ogni superficie fosse per necessità bilaterale. Ma c'è di piú; se tagliamo l'anello lungo la linea tracciata, non avremo due anelli distaccati, ma un unico anello piú grande di quello originario e con due risvolti; e se lo si taglia ancora in lungo, Si avranno due anelli, ma intrecciati.
Inoltre si giunse a notevoli progressi nel campo delle equazioni algebriche con, ad esempio, EVARISTO GALOIS (1811-1832) che scoprí quella «teoria dei gruppi» con cui si potevano risolvere equazioni superiori al quarto grado; e nel campo del calcolo infinitesimale con AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY (1789-1857), che pose a fondamento del calcolo infinitesimale il concetto di «limite» che permetterà lo sviluppo della teoria delle funzioni.
È il caso poi di ricordare anche il lavoro di «aritmetizzazione della matematica», per cui ogni teorema, anche di analisi superiore, può venir formulato e sviluppato secondo la teoria dei numeri naturali. In questo campo KARL WEIERSTRASS (1815-1897) pose su base aritmetica lo studio dei limiti, degli integrali e delle derivate e dimostrò che lo studio delle funzioni poteva fare a meno delle costruzioni geometriche.