Russell stesso riconobbe di aver accolto molte tesi di Frege Tale accoglimento passò attraverso un ripensamento critico di tutto il discorso del matematico tedesco. Fu in questo ripensamento ch'egli individuò un'«antinomia» nelle dimostrazioni del collega Antinomia che, segnalatagli, indusse Frege ad abbandonare l'indagine sulla «ricerca dei fondamenti» dell'aritmetica, e aprí il discorso nell'ambiente degli studiosi, sulla cosiddetta «crisi dei fondamenti». Infatti essa rendeva invalido il concetto logico di «egualmente numeroso» che Frege aveva posto a base del concetto di numero. L'antinomia, detta in termini brevi, è la seguente. Supponiamo un insieme x, e definiamolo come l'«insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi». Allora: tale insieme x contiene o non contiene se stesso come suo elemento? Se si dice che «contiene» allora tale affermazione è in contraddizione con la definizione stessa di x. Se si dice che «non contiene», tale affermazione implica ugualmente contraddizione: infatti x, non includendo sé in se stesso, non può essere l'insieme includente tutti gli insiemi che non contengono se stessi.
Questa antinomia non fu la sola considerata da Russell. Egli infatti pose sotto esame anche i «paradossi logici» già enunciati nell'antichità, come quello - noto - «del mentitore». Per scioglierli Russell, avendo notato che essi considerano un insieme allo stesso tempo incluso in se stesso e diverso da se stesso, propose di adottare il criterio che quando si parla di un insieme lo si debba considerare sempre non incluso in se stesso come suo membro. Ciò evidentemente non scioglieva l'antinomia. Per cui egli elaborò la «teoria dei tipi». Si distinguano, cioè, i concetti individuali (quelli ch'egli chiama «di tipo zero») indicati dai nomi propri, dai concetti che esprimono proprietà di individui (concetti «di tipo uno»), e questi dai concetti che esprimono proprietà di proprietà (concetti «di tipo due»), e cosí oltre. Si eviterà il paradosso, l'antinomia, se si è accorti a non porre, in una proposizione, un predicato che sia un concetto di tipo uguale o minore di quello del soggetto. Russell poi sviluppò anche una teoria del linguaggio. Il linguaggio, egli dice, è fatto di proposizioni. Le proposizioni sono fatte di «costituenti», cioè di simboli che «significano qualcosa». La validità dei «costituenti delle proposizioni» è data dalla loro corrispondenza ai «costituenti dei fatti». Di questi non si può avere se non «cognizione diretta»; e solo tale cognizione permette di comprendere il significato dei simboli. Ma, aggiunge, la «cognizione diretta» è relativa ad ogni singolo individuo.
Sicché il linguaggio perfetto sul piano logico sarebbe solo quello in cui non ci fosse se non una parola per ogni oggetto «semplice»; e che esprimesse ogni cosa «non semplice» attraverso una combinazione di parole assunta come componente semplice. Tale linguaggio permetterebbe di porre in rilievo la «struttura logica dei fatti asseriti o negati». Sarebbe un linguaggio di semplice «sintassi», con un suo vocabolario in cui ogni termine esprimerebbe uno e un solo significato. Ma poiché la «cognizione diretta» dei fatti è relativa ai singoli individui, un tale linguaggio renderebbe impossibile la comunicazione tra gli uomini. Ne segue che la comunicazione ha come condizione proprio l'ambiguità e l'inadeguatezza logica del linguaggio.
Nel linguaggio, poi, si esprimono non solo nomi (simboli di oggetti), ma anche relazioni, relazioni tra oggetti. Tali relazioni sono fatti linguistici o non linguistici, cioè realmente oggettivi? Sono fatti oggettivi, dice Russell: «Parole come prima e sopra, proprio come i nomi propri, significano qualcosa che appartiene agli oggetti della percezione», anche se tali relazioni non sono in se stesse percepibili oggettivamente.
Il linguaggio può permettere di parlare anche di oggetti non esistenti; ed anche di oggetti di cui non si ha «cognizione diretta». Ma in tal caso le proposizioni non dicono nulla in merito ai fatti, ma solo in merito ai simboli adottati nella proposizione. Quando si dice: «L'autore di Waverley è scozzese» non si dice alcunché di Scott, ma il significato di questa proposizione è il seguente: «Esiste esattamente una sola entità che scrisse Waverley, e chiunque scrisse Waverley è scozzese». Essa perciò è una «proposizione denotante», non «connotante».
Per completare il profilo di Russell bisogna ricordare anche la sua teoria sui valori etico-religiosi. Nessun discorso etico, egli dice, può avere struttura scientifica. Qualsiasi proposizione del tipo «il bene è..,» non è - malgrado l'apparenza di enunciato dichiarativo provabile con dimostrazioni razionali - se non una personale, privata espressione dl desiderio. Essa significa «io desidero che tutti desiderino che il bene sia...». L'etica pertanto non può essere soggetta a prova scientifica; e la scienza non può discutere i giudizi etici. Da tal punto di vista il concetto di «dovere» si risolve nel raggiungimento di «fini» che «altri» desiderano che noi desideriamo; esso trova la sua giustificazione solo nel fatto che l'uomo, abbandonato ai suoi privati desideri, Si disperde; e non solo non trova obiettivi che lo rendano solidale con gli altri, ma resta con essi in situazione conflittuale, al punto che non riesce ad ottenere la realizzazione dei suoi desideri, o quanto meno a trarne la massima soddisfazione.
C'è bisogno comunque di una «disciplina» dei desideri, una disciplina che preveda l'esaltazione di quelli che portano al benessere, e la riduzione di quelli che generano infelicità. Tale disciplina non deve avere però un contrassegno religioso, perché è mistificante parlare di valori assoluti; pertanto non c'è spazio per una nozione quale quella di «peccato».
Bisogna contestare ogni dogmatismo come oppressivo, liberticida e antiscientifico. E bisogna contestare pure quello implicito nell'organizzazione della società dominata dalla scienza stessa; società che piega pur sempre le istanze individuali al «bene» pubblico, cioè sottomette i sentimenti umani alla logica del dominio.
Si tratta, avverte Russell, di cattivo uso della scienza, che però la scienza, col suo spirito di prudenza e con la permanente disponibilità alla verifica dei suoi risultati, non autorizza in alcun modo.