Ma il vero fondatore della logica matematica è Gottlob Frege (1848-1925), autore de I fondamenti dell'aritmetica, Senso e significato, Principi dell'aritmetica e Ricerche logiche. Affascinato dall'idea leibniziana di un calculus philosophicus o ratiocinator, mirò alla costruzione di un linguaggio rigoroso, «in formule di pensiero puro», che permettesse il «calcolo logico» e che potesse costituirsi come fondamento di tutti i calcoli particolari e specifici delle varie scienze (aritmetici, geometrici, ecc); di modo che anche questi calcoli specifici potessero esser condotti per via esclusivamente formale, e senza salti e lacune. Egli parte dalla tesi di Bolzano che un concetto scientifico, ad esempio quello matematico, ha una verità oggettiva e immutabile. Esiste in sé e per sé, egli dice, e non cambia la sua natura se non lo penso, o se lo penso in modo inadeguato. Tale verità esiste oggettivamente, però non nel senso dell'oggettività della realtà fisica: essa è idealmente oggettiva cosí come oggettiva e ideale è la verità dell'«asse terrestre», di cui non posso dire che esiste fisicamente, ma di cui posso di certo dire che esiste. Ma dire «ideale» significa dire anche che essa è insieme indipendente e in qualche modo dipendente dal pensiero; ossia: quell'oggettività non è creata dal pensiero, tuttavia è riconosciuta solo nel e dal pensiero.
Perciò ha torto il formalismo matematico che, presupponendo come «reale» solo il «sensibile», parla degli «enti aritmetici» come «segni numerici» costruiti e definiti liberamente; tali enti, e le relative operazioni, dice Frege, non s'inventano; nessun matematico crea qualcosa; egli, come il geografo, non può se non «scoprire» ciò che già esiste, e «dargli un nome».
Cosí in matematica, come nelle scienze in generale, dire che un concetto è idealmente oggettivo, non significa in alcun modo dire che la sua oggettività è «soggettiva», che esso è «posto» come oggettivo dallo scienziato.
Queste oggettività ideali, poi, non si colgono con l'«intuire» ma col «pensare», cioè «si afferrano attraverso concetti». Infatti il pensare non crea ma svela, non produce ma scopre. Si tratta di un pensare che non si muove all'interno di un sistema assiomatico costruito ad arbitrio; esso coglie la verità che esiste adeguandosi alle leggi logiche. E poiché tali leggi sono anch'esse oggetti ideali, benché fondamentali, il pensiero scopre le verità matematiche aderendo, adeguandosi, agli enti ideali.
Le leggi logiche sono dunque verità oggettive, determinate, stabili; esse costituiscono il fondamento di tutti gli enunciati veri di tutte le scienze e di tutti i procedimenti delle scienze particolari in cui il pensiero si esplicita. Non sono in alcun modo delle «costruzioni psicologiche» e non sono quindi spiegabili con le leggi della psicologia. Come non lo sono gli enti e le leggi matematiche: il concetto di numero, ad esempio, non può esser determinato descrivendo i processi mentali che precedono l'enunciazione di un giudizio numerico.
I fondamenti dell'aritmetica stanno allora nella logica; le sue leggi sono ancorate a quelle della logica. Bisogna procedere pertanto ad una sistemazione rigorosa della logica, ad una sua formalizzazione completa con un simbolismo adeguato.
Cosí l'aritmetica può esser ridotta ad enunciati deducibili dai principi e dalle leggi della logica. I suoi stessi fondamenti possono essere espressi e definiti in termini logici e spiegati attraverso concetti logici. Si assuma a fondamento dell'aritmetica il concetto di «numero naturale». Come è possibile spiegarlo? Ricorrendo al concetto logico di «classe». E allora: poniamo due classi in corrispondenza biunivoca (tali che ogni elemento della prima sia corrispondente ad un solo elemento della seconda); si dirà che esse sono «egualmente numerose»; e allora si può dire che il «numero» di una classe A è la «classe» di tutte le classi «ugualmente numerose» rispetto ad A.
Ma allora scompare ogni distinzione tra aritmetica e logica? No, dice Frege, «scoprire la verità è compito di tutte le scienze; alla logica spetta scoprire le leggi dell'esser vero». Insomma la logica è soprattutto scienza delle proposizioni. Infatti Frege distingue la «verità di un'immagine» dalla «verità di una proposizione».
La logica riguarda dunque le proposizioni, in quanto «la proposizione esprime un pensiero»; tale pensiero ne costituisce il «senso»; la proposizione è un pensiero «che si veste dei panni sensibili». Esso può avere varie vesti. Ad esempio uno stesso pensiero può essere espresso in forma interrogativa o in quella assertoria: il contenuto è lo stesso, ma la proposizione assertoria ha qualcosa di piú.
Dunque «il mondo dei pensieri ha la sua manifestazione nel mondo delle proposizioni, attraverso espressioni, parole, segni». Pertanto «alla struttura del pensiero corrisponde la composizione delle proposizioni mediante parole». Ma «la disposizione delle parole in generale non è indifferente», perché ogni tipo di composizione delle stesse parole corrisponde ad una connessione logica diversa. Ma in quanto logica delle proposizioni, la logica richiede una distinzione tra segno, senso e denotazione.
Su questa base allora le leggi logiche possono avere una traduzione simbolica. Ci sono simboli «completi», che denotano un oggetto determinato, cioè un «nominatum», e quindi escludono ogni variabile («il padre di Platone») e quelli «incompleti», che contengono una variabile. Un «nominatum», poi, può avere anche due simboli completi e diversi tra loro («stella del mattino» e «stella della sera»). Però, pur avendo lo stesso «nominatum», due simboli diversi non sono, in certi contesti, scambiabili tra loro. Io posso dire ad esempio «2x2» e «2+2»; questi due segni hanno lo stesso oggetto, denotano lo stesso «nominatum», ma in maniera differente, e in certi casi non sono sostituibili tra loro. Quanto ai simboli incompleti, essi possono esser ritenuti delle rappresentazioni di funzioni.
Con questo discorso Frege ha presentato la matematica quasi come un'appendice della logica.