Contestualmente al dibattito epistemologico si sviluppa anche la «filosofia della scienza». Quanto al discorso sui fondamenti della matematica, si delineano due tendenze. La prima, che si rifà in qualche modo a Kant, è quella «intuizionista», i cui esponenti piú significativi, tra cui L.E.J. Brouwer (1881-1966) e H. Weyl (1885-1955), sostengono che la matematica si fonda sull'intuizione a priori del tempo e che i suoi enti sono «costruzioni» effettuate a partire da questa intuizione; pertanto non hanno un'«esistenza» specifica in quanto oggetti logici, in quanto immagini di processi e relazioni reali, come volevano Cantor e Dedekind, né sono delle pure convenzioni.
La seconda tendenza, quella «formalista», si afferma con David Hilbert (1862-1943), che la espresse ne I fondamenti della geometria e ne I fondamenti della matematica. Per Hilbert la matematica è un «sistema assiomatico». Esso si fonda su concetti di base e relazioni fondamentali, enunciati ed enumerati completamente. Tutti gli altri concetti e relazioni ammessi devono essere riconducibili - come enunciati - a quelli di base. Dagli assiomi vengono poi dedotte tutte le successive proposizioni secondo la norma della coerenza. Di modo che tutto il «sistema» ha la ragione della sua validità nell'interna coerenza, cioè nella non contraddittorietà tra enunciati derivati e assiomi e tra gli enunciati derivati stessi. Sicché le operazioni matematiche non sono che «procedimenti puramente meccanici», secondo il metodo ipotetico-deduttivo.
Ma perché un sistema sia completo, egli aggiunge, bisogna affiancare alla «matematica formale» anche una «metamatematica», cioè ragionamenti non di carattere formale. Sicché «lo sviluppo della totalità della scienza matematica» si realizza in due modi: «derivando dagli assiomi nuove formule dimostrabili mediante deduzioni formali» e «aggiungendo nuovi assiomi» insieme a «la prova di non contraddizione per mezzo di ragionamenti che hanno un contenuto».
Hilbert, come si vede, si mostra fiducioso che un sistema assiomatico possa essere assolutamente non contraddittorio. Ma quale sarebbe la prova della sua non-contraddittorietà? Questo fu il problema che affrontò Kurt Gödel (1906-1978).
La non-contraddittorietà di un sistema, egli afferma in base ad un suo famoso teorema, non può esser determinata con i mezzi propri di quel sistema, ma solo con quelli di un altro sistema piú fornito di strumenti logici. Ciò significa da un lato che con i mezzi propri di un sistema si può fissare solo la non-contraddittorietà interna di una singola parte del sistema dato, e dall'altra che nessun sistema, nella sua totalità, è fornito d'ogni possibile assioma e che pertanto è sempre possibile scoprire nuovi assiomi.
Un contributo originale alla riflessione sulla matematica fu poi offerto da Giuseppe Peano (1858-1932), autore di Principi aritmetici esposti con nuovo metodo e di Formulario di matematica.
Tutta la matematica, egli sostiene, è riducibile all'aritmetica, cioè a concetti e operazioni aritmetiche; e tutta l'aritmetica può esser ricondotta a tre concetti di fondo - quello di «zero» di «numero naturale» e di «successivo» - e a cinque assiomi. Inoltre Peano diede alla matematica un linguaggio totalmente formalizzato, introducendo un sistema di simboli per tutte le possibili operazioni. E infine indicò l'analogia tra le operazioni dell'algebra e del calcolo geometrico con quelle della logica di tipo deduttivo, aprendo la strada alla «logica matematica».