1. Le stelle e la terra

2. Punto, piano e solido

3. I numeri e le macchine

4. Il medico

Euclide fu certamente uno dei piú illustri rappresentanti della scuola di Alessandria che si raccoglieva intorno all'istituzione del Museo, ma molti altri scienziati di grande valore, di tutte le discipline, furono collegati al Museo: o vi insegnarono o vi ascoltarono le lezioni di grandi maestri, o comunque si mantennero in contano con gli scienziati alessandrini. E il caso, per esempio, del piú geniale scienziato dell'antichità e uno dei maggiori di tutta la storia, Archimede di Siracusa, che visse per un certo periodo ad Alessandria ed anche quando tornò a Siracusa non ruppe i legami con gli scienziati della scuola. Di Archimede parleremo fra poco; ora accenneremo molto brevemente agli sviluppi che conobbe la matematica dopo Euclide ed Archimede, non solo ad Alessandria, ma anche negli altri due importanti centri di studio di Rodi e di Pergamo. A Rodi è legata l'opera di Ipparco di Nicea (cfr. par. 1), a Pergamo quella del grande geometra APOLLONIO DI PERGA (260-190 circa a.C.). Apollonio si interessò di geometria elementare come Euclide (al quale rivolse alcune critiche), approfondì lo studio delle circonferenze e in particolare quello delle tangenti; la sua fama è legata però all'opera sulle Sezioni del cono, che contiene una trattazione di quelle cune ancora oggi chiamate "coniche" perché si possono costruire segando un cono con un piano inclinato variamente rispetto all'altezza del cono stesso. Oltre al cerchio, Apollonio individuò, e vi dette il nome, le tre cune fondamentali della parabola, dell'iperbole e dell'ellisse, studiandone le proprietà geometriche, formulando e risolvendo numerosi problemi ad esse relative.

La scuola di Alessandria intanto conosceva dei periodi alterni di fioritura e di decadimento; dopo la conquista romana e i danni che questa apportò al Museo e alla Biblioteca, si ebbe una certa ripresa degli studi, ma dal I-II secolo d.C. la nuova atmosfera culturale permeata di interessi mistici e religiosi non fu favorevole alle ricerche scientifiche: riapparvero scienziati che collegavano sempre più, dimenticando la specificità delle proprie ricerche e il rigore dell'indagine razionale, la propria teoria a teorie non scientifiche come la magia e l'astrologia, favoriti in questo dalla ripresa delle dottrine neoplatoniche e neopitagoriche: ricomparvero così le figure del matematico-filosofo, del medico-mago, dell'astronomo-astrologo. Né il rafforzarsi del cristianesimo all'interno dell'impero romano migliorò le cose: nel 390 d.C. il vescovo Teofilo fece incendiare gran parte della Biblioteca, che già aveva subito forti danni all'epoca della conquista romana dell'Egitto; nel 415 d.C. una turba di fanatici cristiani trucidò in Alessandria la famosa Ippazia, studiosa di matematica e di filosofia, figlia del matematico Teone di Alessandria; nel 641 gli Arabi conquistando l'Egitto distrussero completamente e definitivamente Museo e Biblioteca. Gli ultimi due illustri rappresentanti della cultura matematica alessandrina furono PAPPO (fine III sec - IV sec d.C.), che scrisse una Collezione matematica, in cui si trovano le basi della geometria proiettiva e lo studio delle aree e dei volumi dei solidi di rotazione; e DIOFANTO (attivo nella prima metà del III sec d.C.), che nella sua Aritmetica si interessò della teoria delle equazioni numeriche, cioè dell'algebra nel senso originario della parola. Diofanto si sforzò di creare un algoritmo, cioè un metodo di scrittura simbolica, inventando una serie di simboli per indicare le prime cinque potenze dell'incognita di un'equazione, per indicare frazioni a numeratore 1 e con denominatore fino alla sesta potenza dell'incognita. Inventò anche dei segni per indicare il «meno», l'«uguale», e cosí via, enunciando la famosa regola dei segni ("meno per meno fa piú", e cosí via). Dopo Diofanto e Pappo, la matematica greca decade irrimediabilmente: da un lato abbiamo figure di matematici-filosofi per i quali la matematica si è trasformata ormai in una mistica dei numeri; dall'altro lato abbiamo non piú ricercatori ma commentatori delle opere classiche. Tra questi, merita di venire ricordato il neoplatonico PROCLO D'ATENE (V sec. d.C.), che nel suo Riassunto storico ci dà preziose notizie sulla storia della matematica greca, ma è d'altra parte responsabile di alcune incomprensioni del testo euclideo, come del resto risente - anche se lo critica - dell'abbinamento proprio della sua epoca di elementi razionali con elementi fantastici e mistici.

Matematico, fisico, ingegnere, Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) fu una delle menti piú geniali di tutta l'antichità. Delle sue opere di carattere matematico è giunta fino a noi una dal titolo Arenario. In essa Archimede vuole dimostrare, contro la tesi dell'infinità del cosmo, sostenuta di recente da Aristarco di Samo, che il mondo è finito e che inoltre l'aritmetica può offrirci i mezzi per scrivere il numero - grandissimo ma finito - dei granelli di sabbia necessari a riempirlo, dalla terra fino al cielo delle stelle fisse. A parte le considerazioni astronomiche, è questa parte matematica che conserva per noi un grandissimo interesse; partendo dal presupposto che non si può pensare un numero se non lo si può scrivere, Archimede propone una numerazione suddivisa in ordini e periodi. Nel III sec. a.C. i Greci, pur utilizzando un sistema di numerazione a base dieci, si servivano di ventisette simboli, le ventiquattro lettere dell'alfabeto ionico piú tre lettere desunte da un alfabeto piú antico e ormai in disuso: con questo sistema essi riuscivano a scrivere numeri fino alla miriade di miriadi, corrispondente a 100 milioni (10⁸). L'idea geniale di Archimede fu quella di considerare i numeri dall'1 a 10⁸ come il primo ordine di numeri: l'ultimo numero di questa serie viene ora assunto come "unità superiore", partendo dalla quale si poteva formare un secondo ordine di numeri, che infatti va da 10⁸ a 10¹⁶, cioè da 10^8·1 a 10^8·2; ma anche 10¹⁶ diventa ora una unità superiore per la formazione del terzo ordine, che andrà da 10^8·2 a 10^8·3, e cosí via fino alle unità del centomilionesimo ordine, ossia di un ordine pari a quante volte erano le unità semplici comprese nel primo ordine. Tutti questi ordini costituiscono appunto il primo periodo, che va perciò da 1 a 10^800.000.000; ma l'ultimo numero del primo periodo potrà essere assunto come il primo numero del primo ordine del secondo periodo, che sarà costruito analogamente al primo: e l'ultimo del secondo periodo potrà essere assunto come il primo numero del primo ordine del terzo periodo, e così via. Il numero dei granelli di sabbia non è quindi infinito, come cantava la poesia, e i granelli occorrenti a riempire una sfera celeste sono appena 10⁶³, cioè un numero appartenente appena al primo periodo: il calcolo matematico assicurava cosí la sua superiorità su qualsiasi realtà fisica, perché l'infinito era una prerogativa che spettava soltanto ad esso.
Anche nel campo della geometria Archimede dimostrò il suo genio, in parte continuando e sviluppando la sistemazione di Euclide, in parte innovando. Qui ricordiamo soltanto i suoi calcoli sul cerchio e sulla sfera: calcolò il rapporto tra la circonferenza ed il diametro, avvicinandosi notevolmente al suo valore numerico; dimostrò che l'area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del cerchio massimo, ma soprattutto dimostrò che il volume della sfera è uguale a 2/3 del volume del cilindro circoscritto alla sfera stessa. Archimede considerò questa scoperta eccezionale, tanto che volle che le due figure (il cilindro e la sfera inscritta) fossero scolpite sulla sua tomba, il che permise a Cicerone due secoli dopo di trovare il luogo della sua sepoltura, ormai dimenticato. Ma molti furono ancora i meriti del Siracusano: portò a perfezione il metodo eudossiano di esaustione nei lavori dedicati alla parabola, alla spirale, agli sferoidi e ai conoidi, gettando le basi del calcolo integrale moderno; intuì le nozioni di limite, di infinito e di infinitesimo, gettando le basi dell'analisi infinitesimale. Le sue intuizioni geniali in questo campo sono contenute in un libro, Il metodo sui teoremi meccanici, indirizzato ad Eratostene e scoperto solo agli inizi del nostro secolo, nel quale descriveva i procedimenti usati nelle sue ricerche sulle quadrature, le cubature e sui centri di gravità. Il metodo consisteva nel considerare le superfici come somme di un numero infinito di linee e i volumi come somme di un numero infinito di elementi infinitamente sottili: dimostrò cosí di saper fondere brillantemente l'intuito e l'analogia colla dimostrazione razionale, lo spirito pratico del fisico e dell'ingegnere col calcolo logico del matematico. L'opera andò persa, e gli analisti del '600 avrebbero dovuto inventare di nuovo i procedimenti dimostrativi di Archimede - giungendo ai suoi stessi risultati -, mentre solo nell'800 si riuscirà a dare una forma logica precisa alle geniali intuizioni del Siracusano.
Nel campo della fisica Archimede seppe sviluppare i principi fondamentali (già noti da tempo e sistemati nell'Ottica di Euclide) della riflessione e della rifrazione, applicandoli anche alla costruzione di enormi specchi che - secondo la tradizione - servirono ai Siracusani per bruciare le navi della flotta romana che assediava Siracusa. Elaborò anche una teoria delle macchine semplici e una teoria matematica della leva che gli permise di dimostrare che tutte le macchine semplici si riducono alla leva; anche questa teoria ebbe delle applicazioni pratiche, permettendo ad Archimede di costruire macchine capaci di scagliare sull'esercito romano massi enormi a qualsiasi distanza e con estrema precisione, oppure grandi artigli capaci di sollevare le navi e di fracassarle poi al suolo
Ma la sua gloria maggiore fu di aver scoperto quel principio fondamentale dell'idrostatica - detto ancora oggi principio di Archimede - secondo il quale un corpo immerso nell'acqua diminuisce di peso in rapporto al suo volume e secondo uno specifico coefficiente, intuendo quindi il concetto di peso specifico relativo, da lui enunciato nella famosa proposizione: "I corpi specificamente piú pesanti di un liquido, immersi nel liquido, cadranno in basso sino al fondo, e nel liquido diverranno tanto piú leggeri, di quanto peso è un volume di liquido eguale al volume del solido ".
Gli scienziati alessandrini seppero gettare non solo le basi della statica e dell'idrostatica, ma fondarono anche, con CTESIBIO Di ALESSANDRIA e FILONE DI BISANZIO, una famosa scuola di meccanica. Caratteristica di questa scuola fu lo studio e l'utilizzazione della compressibilità dell'aria (pneumatica). Poche e dubbie sono le notizie che abbiamo di Ctesibio: avrebbe costruito un organo idraulico formato da canne di varia altezza, messe in vibrazione da soffi d'aria compressa per mezzo di acqua. Molti altri contributi di Ctesibio sono noti: un orologio, un cannone ad aria compressa, una pompa per pompare acqua, nota fino al Rinascimento con il nome appunto di ctesibia machina. Successore e discepolo di Ctesibio fu Filone, attivo intorno alla metà del III secolo a.C.: nelle sue opere descrive una serie di macchine da guerra con tanta minuzia che agli inizi del nostro secolo furono ricostruite ed ammirate per la loro precisione. Ma oltre ad essere padrone della teoria delle leve, Filone seppe utilizzare da maestro la pneumatica, combinandola con l'uso della pressione atmosferica e della pressione del vapore acqueo descrive infatti molti automi e giocattoli costruiti in base a questi principi, come fontane con animali che bevono e uccelli che cantano, macchine automatiche per provvedere di acqua certi locali, un intero teatro automatico, dimostrando una piena conoscenza di esperimenti e principi fisici che ancora oggi si ripetono nelle scuole di fisica elementare.
La fama di Ctesibio e di Filone fu completamente oscurata da Erone di Alessandria, il primo "ingegnere" nel senso moderno della parola. Della sua vita e dell'epoca in cui scrisse le sue opere non si sa nulla di preciso, anzi pare che le molte opere a lui attribuite siano state scritte da piú di un autore ed in epoche diverse Ia questione è complicata anche dal fatto che il nome "Erone" nell'antichità, oltre ad essere un nome proprio, indicava anche la professione appunto di ingegnere. L'ipotesi piú probabile è che il nostro Erone sia vissuto tra il II ed il I sec. a.C. e che abbia scritto una Metrica, una Catottrica ed una Meccanica, oltre ad un libro di Definizioni, ad uso dei primi corsi della scuola da lui diretta: come nei nostri politecnici, infatti, anche ad Alessandria i corsi tecnici erano preceduti da un'istruzione teorica che prevedeva una formazione nelle discipline scientifiche piú importanti, come aritmetica, fisica, geometria, astronomia.
Erone approfondì gli studi di pneumatica, riuscendo a costruire la famosa eolipila, cioè la prima macchina a vapore veramente funzionante, che si basava sugli stessi principi fisici delle moderne turbine a vapore. Famoso rimase anche il dispositivo col quale, accendendo un fuoco sull'altare del dio, automaticamente si aprivano le porte del tempio, spegnendolo, le porte si richiudevano. Ma molte macchine costruite da Erone servivano a meravigliare e a divertire le corti, e non venivano affatto utilizzate a scopi pratici - tranne, naturalmente, le macchine di guerra.

Piú scientifiche sono la Catottrica, che, anche se si occupa principalmente degli specchi di vario tipo e degli effetti mirabolanti che si possono ottenere col loro attento impiego, contiene però un notevole numero di osservazioni sperimentali, fisiche e fisiologiche, che sono alla base dell'ottica geometrica; e la Meccanica, che contiene una trattazione pressocché completa delle cinque macchine templici (argano, leva, carrucola, cuneo, vite), attraverso la cui combinazione Erone riesce ad inventare una serie di macchine e di ingranaggi complicati. Famosa è la costruzione di un odometro, cioè di uno strumento che riesce a misurare le distanze su strada (l'odierno contachilometri). Nella Metrica, poi dedicata alla geometria delle misure, Erone rivela la sua mentalità di fisico pratico, oltre che di matematico puro, stabilendo metodi per il calcolo di superfici e volumi di poliedri assolutamente irregolari o di corpi fisici quali si trovano in natura, ma non corrispondenti a nessuna forma geometrica, come per esempio un mucchio di sassi.
Anche nella matematica Erone dimostrò la sua eccellenza, offrendoci l'unico esempio dell'antichità a noi noto di estrazione della radice cubica dai numeri interi, ed enunciando la famosa formula (che ancora oggi è chiamata formula di Erone) che dà la misura dell'area di un triangolo, note le misure dei lati:

dove S è l'area, p il semiperimetro, a, b, c i lati.

Dopo Erone, c'è da menzionare, nel campo della fisica, solo l'Ottica di CLAUDIO TOLOMEO, la cui opera di astronomo abbiamo ricordato nel primo paragrafo di questo capitolo. A differenza di Euclide, e continuando la via aperta da Erone, Tolomeo si interessa non soltanto della prospettiva, ma anche dei processi fisici della visione e quindi dei fenomeni delle illusioni ottiche. Importanti sono anche i suoi studi sulla rifrazione della luce attraverso i vari mezzi, aria-acqua, aria-vetro, acqua-vetro. Poi, dopo Erone e Tolomeo, la decadenza; i Romani, venuti a contatto con la scienza greca proprio in quest'età di decadenza, seppero assimilarla e sfruttarla applicandola a quelle opere - specialmente di ingegneria - che ancora oggi ammiriamo sparse per il mondo mediterraneo, ma nulla seppero aggiungervi in quanto a contributi scientifici originali.
Molti studiosi si sono posti il problema del perché, data la notevole massa di esperienze teoriche e pratiche conquistata dall'età alessandrina, essa non abbia poi saputo esprimere quella "civiltà delle macchine" che si affermerà appunto a partire dal secolo XVIII. È stato notato in particolare come, per esempio nella meccanica, il pensiero scientifico greco avesse conquistato tutti i principi teorici necessari alla tecnica moderna. Se non si ebbe dunque una civiltà delle macchine, ma solo una utilizzazione pratica destinata a produrre ingegnosi giocattoli (i cosiddetti thàumata = miracoli, oggetti di meraviglia), ciò fu dovuto a tutto un complesso di fattori e di condizionamenti mentali, psicologici, politici: la scarsa considerazione per il lavoro manuale, l'ammirazione per la macchina come prodotto d'ingegno, "bella" esteticamente, e destinata a stupire e a provocare meraviglia piú che a servire nel campo del lavoro manuale; ma fu dovuto soprattutto e principalmente a fattori sociali: l'esistenza di una grande massa di manodopera servile, relativamente a buon mercato, facilmente interscambiabile e naturalmente accrescibile.