1. Le stelle e la terra

2. Punto, piano e solido

3. I numeri e le macchine

4. Il medico

Le osservazioni matematiche in Grecia assunsero ben presto quella veste di formalizzazione e di astrazione che ne fecero una vera e propria scienza. Abbiamo accennato nei capitoli II e III all'importanza della matematica nelle speculazioni dei Pitagorici e degli Eleati: anche se alle origini la matematica pitagorica non era priva di elementi religiosi e mistici, ben presto - perlomeno già con i secondi pitagorici - essa acquistò tutto un bagaglio di nozioni tecniche e di procedimenti metodologici che la caratterizzarono fortemente. Fino a Platone notevoli furono i progressi nel campo della teoria e della applicazione geometrica; ricordiamo soltanto il grande Ippocrate di Chio (nato intorno al 470 a.C.), che si applicò al problema delle medie proporzionali e a quello della quadratura del cerchio: famosa è la sua indagine sulle lunule (aree racchiuse tra due archi di cerchio aventi raggio diverso ma medesimi estremi) e la dimostrazione che l'area delle due lunule costruite su due lati del quadrato è equivalente all'area del triangolo costituito dai due lati del quadrato e dalla diagonale. Anche l'ambiente dei sofisti apportò notevoli contributi al progresso della matematica: Ippia di Elide scoprì la quadratrice (una curva interna al quadrato e non tracciabile con riga e compasso, bensì con mezzi meccanici e cioè attraverso la composizione di un moto circolare e di uno rettilineo), usabile per risolvere il problema della trisezione di un qualsiasi angolo acuto e per la rettificazione di una linea curva; Antifonte scoprì che, col crescere del numero dei lati di un poligono regolare inscritto ad un cerchio, l'area del poligono si avvicina a quella del cerchio e tende ad identificarsi con essa.
Ai tempi di Platone, con Platone e nell'Accademia, l'interesse per la matematica e i suoi progressi furono notevoli; Platone stesso conobbe e fu in buoni rapporti con importanti matematici del suo tempo: Teodoro di Cirene, che si occupò dei numeri irrazionali (i rapporti tra grandezze incommensurabili), dimostrando l'irrazionalità delle radici quadrate dei numeri interi che non siano quadrati perfetti; il pitagorico Archita, del quale abbiano accennato nel cap. III, par. 7; Teeteto (415-369 circa a.C.), che fece parte anche dell'Accademia e continuò le ricerche di Teodoro sugli irrazionali nonché gli studi pitagorici sui poliedri elaborando la teoria generale dei cinque poliedri regolari. Ma fu l'atteggiamento generale di Platone ad offrire un grande impulso ed una direzione ben precisa alla matematica. Considerata come una disciplina altamente educativa perché solleva la mente al di sopra della percezione sensibile e la prepara alla contemplazione delle idee, la matematica sarà considerata da Platone in poi come uno studio puramente concettuale, che non deve avere nulla a che fare con l'aritmetica e la geometria pratiche, usate per esempio dai commercianti e dagli agrimensori: deve tendere cioè ad una sua purezza ideale e ad una metodologia rigorosamente razionale senza nessuna concessione all'intuizione e alla sensibilità. Abbiamo ricordato nel paragrafo precedente la parola d'ordine platonica "salvare i fenomeni": se questo motto aveva dunque dei risvolti negativi, nel senso che doveva dare una dimostrazione puramente concettuale di fatti dell'esperienza inserendoli in schemi matematici precostituiti e ritenuti validi apriori, dall'altro lato aveva anche dei risvolti positivi in quanto apriva la via comunque di un procedere autonomo e formalizzato della scienza matematica. Questo è evidente già nel contemporaneo di Platone ed Aristotele, Eudosso di Cnido. Della sua importanza nel campo dell'astronomia abbiamo fatto cenno nel paragrafo precedente; ma Eudosso fu anche un grande matematico, ed anzi con lui iniziò quel distacco della matematica dalla filosofia che non c'era nella prospettiva platonica e quel suo costituirsi in una disciplina sempre piú autonoma e specialistica che si affermerà poi compiutamente nell'età ellenistica. Riprendendo alcune intuizioni democritee, e mettendo a frutto l'esperienza accumulata dai pitagorici in poi, nonché le stesse riflessioni dei sofisti sul linguaggio, sulla convenzionalità e molteplicità dei linguaggi, Eudosso diede un notevole contributo principalmente alla teoria delle proporzioni - che sarà sistemata poi da Euclide - ed al metodo di esaustione, che serviva principalmente a dimostrare l'equivalenza tra due grandezze.

Il piú grande matematico dell'età alessandrina - al Museo di Alessandria lavorò per molto tempo, fondando appunto la scuola piú importante dell'età antica - fu Euclide, detto di Alessandria per non confonderlo con Euclide di Megara, discepolo di Socrate e contemporaneo di Platone. Della sua vita non si sa nulla, se non che fu attivo intorno al 300 a.C.; dei suoi scritti ci è giunto un trattato in tredici libri, gli Elementi, a cui furono aggiunti in seguito altri due libri, che quindi sono spuri Gli Elementi sono un compendio di tutta la geometria elementare - costruibile cioè con riga e compasso - elaborata dagli antichi e sistemata da Euclide: la loro originalità, rispetto alle scoperte fatte dai matematici precedenti, per esempio da Ippocrate di Chio e da Eudosso, consiste non solo in un contenuto piú ricco, comprendente anche apporti originali di Euclide, ma principalmente in un ordinamento del materiale che soddisfaceva all'ideale di rigore matematico e di dimostrazione logica che si era sempre piú imposto in questa disciplina e che era stato ribadito dallo stesso Platone. Con queste caratteristiche la geometria euclidea rimarrà il testo fondamentale della disciplina e attraverserà i secoli per giungere fino a noi, senza conoscere aggiunte o modifiche significative: solo nel secolo scorso saranno elaborate geometrie diverse, costruite su principi diversi, dette perciò "geometrie non-euclidee".
I principi loogico-matematici su cui si basa la costruzione euclidea sono tre: gli hóroi (termini), gli aitémata (postulati) e gli axiòmata (assiomi), detti pure koinài ènnoiai (nozioni comuni). I termini hanno la funzione di definire e di spiegare i concetti che saranno usati, per esempio punto, retta, cerchio, piano, e così via: classiche le definizioni di punto ("ciò che non ha parti"), linea ("lunghezza senza larghezza"), superficie piana ("ciò che ha solo lunghezza e larghezza"); famoso il quarto termine del libro V: "Si dice che le grandezze hanno ragione tra loro quando ciascuna può essere moltiplicata in modo da superare l'altra", cioè quando, qualunque sia il loro valore, esista sempre un multiplo della minore che supera la maggiore. Questa definizione, scoperta già da Eudosso nella sua teoria delle proporzioni che Euclide espone appunto nel V libro, sarà poi alla base delle dimostrazioni di Archimede, e sarà perciò chiamata "postulato di Eudosso-Archimede". I postulati sono proposizioni presentate come "richieste" che debbono essere accolte per la loro evidenza intuitiva e sulle quali poi si fonderanno tutte le dimostrazioni. Essi sono cinque: "Si domanda: 1) che da qualsiasi punto si possa condurre una retta ad ogni altro punto; 2) e che ogni retta terminata [cioè: ogni segmento] si possa prolungare continuamente per dritto; 3) e che con ogni centro ed ogni distanza si possa descrivere un circolo; 4) e che tutti gli angoli retti siano eguali tra loro; 5) e che se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate all'infinito si incontrino dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti". Gli assiomi infine sono dei principi comuni a tutte le scienze (perciò furono chiamati anche nozioni comuni) e riguardano le proprietà generali dell'eguaglianza e della diseguaglianza, come per esempio "le cose eguali ad una stessa cosa sono anche eguali tra loro", "i doppi di una stessa cosa sono eguali tra loro", "il tutto è maggiore della parte".
I principali argomenti trattati da Euclide negli Elementi sono i teoremi elementari sui triangoli, le rette parallele, l'equivalenza dei poligoni, dimostrati con una tecnica diversa da quella delle dimostrazioni pitagoriche, nonché quelli sul cerchio, sull'arco, sui poligoni inscritti e circoscritti ad un cerchio. Importante è l'algebra geometrica svolta nel II libro, che esprime sotto forma geometrica identità algebriche e risolve alcune equazioni di secondo grado; per esempio il teorema "Se un segmento è diviso a caso, il suo quadrato equivale alla somma dei quadrati delle due parti, insieme con il doppio del rettangolo che le parti contengono" traduce geometricamente la formula (a + b)² = a² + b² + 2 ab. Cosí il problema "Dividere un dato segmento in modo che il rettangolo contenuto dal segmento stesso e da una delle parti risulti equivalente al quadrato della parte rimanente" esprime la proporzione a: x = x: a - x, che esprime la sezione aurea di un segmento. La sezione aurea, com'è noto, è la media proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante; dalla proporzione citata prima si ottiene quindi, per la proprietà fondamentale delle proporzioni, la formula «a (a-x) = X²». Il V ed il VI libro trattano non solo di geometria, ma piú in generale di grandezze e dei loro rapporti, rielaborando e sistemando la teoria delle proporzioni, che viene applicata sia alle grandezze commensurabili che a quelle incommensurabili. La teoria dice che due rapporti, a: b, e c: d, sono uguali (cioè a: b = c: d) se, presi due numeri qualsiasi m ed n interi e positivi, avremo: 1) mc>nd quando ma>nb 2) mc = nd quando ma = nb; 3) mc<nd quando ma<nb; mentre a: b > c: d se esistono due numeri m e n tali che na>mb quando nc<md. Partendo da queste definizioni si ha la cosiddetta proprietà transitiva (essendo p, q, r tre rapporti, se p = q e q = r, anche p = r) con le conseguenti proprietà dell'eguaglianza riflessiva e simmetrica. Gli ultimi tre libri degli Elementi trattano della geometria solida ed affrontano i problemi della inscrizione in una sfera dei cinque poliedri regolari.
È facile notare, anche da questo rapido accenno al contenuto degli Elementi, che il merito fondamentale di Euclide consiste nella costruzione di un trattato completo di geometria piana e solida che sistemasse in un tutto ordinato le conoscenze acquisite secondo un ideale di rigore logico. Con ciò Euclide ha sanato le regole di un processo dimostrativo basato sulla concatenazione di una serie di enunciati rigorosamente collegati l'uno all'altro, e tutti ad un piccolo numero di proposizioni "primitive" dalle quali vengono fatti discendere. Questo "modello" logico-matematico fu giustamente ritenuto fondamentale non solo per la disciplina specifica della matematica, ma anche per le altre scienze, ed anche per la filosofia, e quindi dotato di un alto valore educativo proprio per il suo rigore formale. Si può ricordare, per esempio, l'implicito valore "filosofico" di alcune definizioni euclidee come quella di punto, che assumevano un significato nelle dispute tra pitagorici ed eleati. Come tale, l'opera euclidea ha attraversato due millenni conservando intatto il suo valore. Tuttavia la critica moderna (ma già nella tarda antichità e poi nel Medioevo agli Elementi erano state rivolte delle serie obiezioni) ha messo in luce alcune debolezze interne alla costruzione euclidea, e in particolare il fatto che fra i termini Euclide include non sempre delle semplici definizioni, ma a volte anche dei veri e propri postulati, oppure che nelle dimostrazioni egli introduce delle proposizioni non comprese né tra i postulati né tra gli assiomi: ciò si spiega perché lo stesso Euclide usa a volte come linguaggio scientifico il linguaggio comune e si fa quindi da questo suggestionare nelle sue dimostrazioni. Le critiche piú forti si sono rivolte però al famoso V postulato del primo libro: la sua natura poco intuitiva dovette essere avvertita dallo stesso Euclide, che infatti se ne servì per la dimostrazione di una sola proposizione (quella che dice che, se due rette sono parallele, esse formeranno - tagliate da una trasversale - angoli alterni interni eguali), mentre per le altre non vi fece ricorso. Ma poiché il V postulato è nell'edificio euclideo una colonna portante delle dimostrazioni, esso fu sottoposto fin dalla tarda antichità (Posidonio, Prodo) a tentativi di dimostrazione o di sostituzione con un altro piú evidente: proprio da questi tentativi nasceranno, nel secolo scorso, le cosiddette "geometrie non-euclidee", così chiamate proprio perché prescindono dal V postulato.